ENUNCIADO.
(a) Averígüese la posición relativa de la recta $r$, que pasa por el punto $P(1,-1)$ siendo $\vec{u}_r=(-1,1)$ un vector en la dirección de la misma, con la recta $s$ que pasa por los puntos $Q(0,3)$ y $R(6,0)$
(b) Calcúlese el ángulo entre las rectas $r$ y $s$ del apartado (a)
(c) Hállese un vector unitario que sea ortogonal al vector $\vec{u}_r$ del apartado (a)
(d) Hállese un vector $\vec{w}$ que forme base con el vector $\vec{u}_r$ y dígase qué tipo de base forman ( ortogonol, ortonormal, ... )
SOLUCIÓN.
(a)
Si $r \leftarrow \mathcal{L}\{ P,\vec{u}_r \}$ entonces $r\equiv (x,y)=(1,-1)+\lambda\,(-1,1)$, que podemos expresar en forma general de la forma $r\equiv x+y=0$
Si $s \leftarrow \mathcal{L}\{ Q,R\}$ entonces, siendo $\overset{\rightarrow}{QR}=(6-0,0-3)=(6,-3)=3\,(2,-1)$, hacemos $\vec{u}_s:=(2,-1)$, con lo cual $s\equiv (x,y)=(0,3)+\mu\,(2,-1)$, que podemos expresar en forma general como $s\equiv x+2y-6=0$
Como los vectores directores de sendas rectas, $\vec{u}_r=(-1,1)$ y $\vec{u}_s=(2,-1)$, son linealmente independientes, puesto que la combinación lineal $\alpha\,(-1,1)+\beta\,(2,-1)=(0,0)$ tiene como única solución $\alpha=\beta=0$, las rectas $r$ y $s$ son secantes.
(b)
$\measuredangle(r,s)=\measuredangle(\vec{u}_r,\vec{u}_s)=\arccos\,\dfrac{\langle \vec{u}_r,\vec{u}_s\rangle}{\left\|\vec{u}_r\right\|\cdot \left\|\vec{u}_s\right\| }=\arccos\,\dfrac{\langle (-1,1),(2,-1)\rangle}{|\sqrt{2}|\cdot |\sqrt{5}| }=$
$=\arccos\,\dfrac{-3}{|\sqrt{10}| }\approx 162^{\circ}$
Evidentemente, también podemos dar como ángulo que forman las rectas secantes el ángulo suplementario del calculado, $180^{\circ}-\measuredangle(\vec{u}_r,\vec{u}_s)\approx 12^{\circ}$
(c)
Siendo $\vec{u}_r=(-1,1)$, un vector ortogonal a éste es $\vec{v}=(1,1)$, puesto que, siendo ambos distintos del vector $\vec{0}$, se cumple la condición suficiente $\langle (-1,1),(1,1)\rangle =0$; esto es, uno de los dos vectores no se puede expresar como combinación lineal del otro. El módulo de dicho vector es $\left\|\vec{v}\right\|=|\sqrt{1^2+1^2}|=|\sqrt{2}|$, luego un vector unitario perpendicular al vector $\vec{v}_{r}=(-1,1)$ es $\vec{v}_1=\left(1/|\sqrt{2}|,1/|\sqrt{2}|\right)$
(d)
Como $\vec{v}$ y $\vec{u}_r$ son ortogonales, son linealmente independientes puesto que uno de los dos no es combinación lienal del otro; además, forman un sistema de generadores mínimo del plano vectorial, luego forman base. En particular, por el hecho de ser dichos vectores ortogonales, podemos decir que forman una base ortogonal del plano vectorial: $\mathcal{B}=\{\vec{u}_r,\vec{v}\}$
Un vector unitario en la dirección de $\vec{u}_r$, cuyo módulo es igual a $|\sqrt{(-1)^2+1^2}|=|\sqrt{2}|$, es $\vec{u}_1=(\left(-1/|\sqrt{2}|,1/|\sqrt{2}|\right)$; por consiguiente, los vectores $\vec{u}_1$ y $\vec{v}_1$ son ortogonales ( or tanto son linealmente independientes ), y constituyen un sistema de generadores mínimo del plano vectorial); además, al ser unitarios, decimos que estos vectores forman una base ortonormal del plano vectorial: $\mathbb{B'}=\{\vec{u}_1,\vec{v}_1\}$
$\square$
