ENUNCIADO. Justifíquese la regla de derivación de la función recíproca de la función seno: $$(\arcsin\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
ENUNCIADO. Se una función biyectiva $y=f(x)$ y que, por tanto, tenga asociada función recíproca. El cociente incremental $\dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x}$ puede expresarse de la forma $\dfrac{1}{\Delta\,x/\Delta\,y}$. Teniendo en cuenta ahora que cuando $\Delta\,x \rightarrow 0$ también se tiene que $\Delta\,y \rightarrow 0$, podemos escribir lo siguiente:
$$y'_{x}\overset{\text{def}}{=}\lim_{\Delta\,x\rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta\,y}{\Delta\,x}=\lim_{\Delta\,y \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\Delta\,x/\Delta\,y}=\dfrac{\displaystyle \lim_{\Delta\,y \rightarrow 0}\,1}{\displaystyle \lim_{\Delta\,y \rightarrow 0}\,\Delta\,x/\Delta\,y}=\dfrac{1}{\displaystyle \lim_{\Delta\,y \rightarrow 0}\,\Delta\,x/\Delta\,y}=\dfrac{1}{x'_{y}}$$ con lo que se llega a la siguiente propiedad general (para la derivación de las funciones recíprocas): $$x'_{y}=\dfrac{1}{y'_{x}}$$ y viceversa $$y'_{x}=\dfrac{1}{x'_{y}}$$
Aplicaremos ahora ésto al caso concreto que nos ocupa.
Consideremos la función $f(x)=\sin\,x$ cuya función recíproca queremos derivar; por comodidad a la hora de las manipulaciones algebraicas, la escribiremos de la forma $y=\sin\,x$. Como es bien sabido, la función derivada de esta función es $y'_{x}=\cos\,x$.
Entonces, por la importante propiedad general que hemos justificado arriba, la derivada de la función recíproca de la función seno ( la derivada de la función arcoseno ), $x'_{y}$, es igual a $\dfrac{1}{y'_{x}}$. Por tanto,
$x'_{y}=\dfrac{1}{(\sin\,x)'_{x}}$
$=\dfrac{1}{\cos\,x}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2\,x}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}$
Y teniendo en cuenta que en la función recíproca se intercambia el papel de las variables ( $x \leftrightarrow y$ ), concluimos que $$\left(f^{-1}(x)\right)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ Es decir, $$(\arcsin\,x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Nota: Mediante procedimientos análogos se justifica la regla de derivación de la función recíproca de cualquier función directa dada, siempre y cuando, claro está, la función recíproca exista para esa función directa dada, para lo cual, recordémoslo, dicha función directa ha de ser biyectiva. Observación: Recordemos también que si una función es biyectiva, la función recíproca asociada a dicha función es también biyectiva, puesto que la función recíproca de la función recíproca es la propia función directa.
$\square$
