Cotas de error en las operaciones aritméticas básicas

Donada una suma $a+b$ o bé $a-b$, la fita d'error absolut del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error dels sumands $\Delta_{a}+\Delta_{b}$ Donat un producte $a \cdot b$ o bé un quocient $a / b$ , la fita d'error re del relatiu del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error relatiu dels sumands $\delta_{a}+\delta_{b}$ ( cal recordar que $\delta_{x} = \dfrac{\Delta_{x}}{x}$ ). Cal tenir en compte que els errors (absolut i relatiu) són quantitats positives, per tant, les seves fites també. Exemple: Considerem, per exemple, dues quantitats afectades d'error: $a=3,4 \pm 0,1$, amb dues xifres significatives (x.s.) i una xifra decimal significativa (1 x.d.s.), i $b=71,2 \pm 0,3$, amb 3 x.s. i 1 x.d.s. Ens proposem calcular el valor de la suma i del producte, juntament amb les fites d'error absolut dels resultats. Suma: La suma $a+b$ d'ambdues quantitats és igual a $\mathbf{74,6} \pm 0,4$ ja que $\Delta_{a}=0,1$ i $\Delta_{b}=0,3$. És a dir, podem descriure la incertesa del resultat mitjançant l'interval $74,2 < a+b < 75,0$ Una manera senzilla de comprovar que aquesta fitació és correcta consisteix a calcular el valor de la suma prenent els valors dels sumands per defecte ($(71,2-0,3) + (3,4-0,1) \approx \mathbf{74,2} $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{75,0} $). Producte: Pel que fa al producte $a \cdot b = 3,4 \cdot 71,2 \approx \mathbf{24}0 $ (cal aproximar a dues xifres significatives, perquè la data menys precisa, $3,4$ en té dues), li correspon una fita d'error absolut que calcularem tot seguit. Tractant-se d'una operació producte, tal i com hem dit a dalt, es compleix que la seva fita d'error relatiu ha de ser igual a la suma de les fites d'error relatiu dels factors: $\dfrac{0,1}{3,4} < 0,03$ i $\dfrac{0,3}{71,2} < 0,01$, per tant $\delta_{a}=0,03$ i $\delta_{b}=0,01$. Llavors; $\delta_{a \cdot b} = 0,03+0,01 = 0,04$ i, d'aquí, $\Delta_{a \cdot b} = 0,04 \cdot \mathbf{24}0 < 10$ Finalment, podem escriure el resultat del producte de la forma $a \cdot b = \mathbf{24}0 \pm 10$ Tal com hem fet adés amb el resultat de la suma, una manera elemental de comprovar la correcció d'aquest resultat consisteix a calcular el valor del producte prenent els valors dels factors per defecte ($(71,2-0,3) \cdot (3,4-0,1) \approx \mathbf{23}0 $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{25}0 $). I, efectivament, trobem $\mathbf{23}0 < a \cdot b < \mathbf{25}0$, tal i com esperàvem.

Recta tangente a una circunferencia ...

Enunciat:
Donada la recta
$r:\,y=2x+k$
i la circumferència
$c:\,(x-1)^2+y^2=1$
determineu els valors de $k$ per als quals $r$ i $c$ són tangents.

Resolució:
Per tal d'investigar la incidència entre $r$ i $c$ cal resoldre el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} (x-1)^2+y^2=1 \\ y=2x+k \\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $y$ de la segona equació a la primera equació trobem una equació compatible amb les altres dos amb només una variable

$(x-1)^2+(2x+k)^2=1$

desenvolupant les potències del binomis i agrupant i simplificant queda

$5x^2+2x(2k-1)+k^2=0$

La solució d'aquesta equació polinòmica de segon grau dóna les abscisses dels punts d'intersecció de $r$ i $c$; en el cas que la recta no sigui secant (la recta talla en dos punts a la circumferència) ans sigui tangent (en cada situació de tangència - és obvi que n'hi haurà dos - la recta toca la circumferència en un sol punt), es complirà que el valor del discriminant
$\Delta=b^2-4ac$
serà igual a zero

com que
$a=5$
$b=2\,(2k-1)$
i
$c=k^2$

imposant la condició anterior trobem
$\big(2\,(2k-1)\big)^2-4\cdot 5 \cdot k^2 = 0$
equació que, simplificada, s'escriu
$k^2-4k-1=0$
resolent-la, trobem dos valors de $k$ (un per cada un dels dos punts de tangència)

$k=\dfrac{-4 \pm 2\,\sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix} -2+|\sqrt{5}| \\ \\ -2-|\sqrt{5}| \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[autoría]

Determinar la ecuación de la recta mediatriz al segmento cuyos puntos extremos son $A(1,1)$ y $B(-2,3)$ ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la recta mediatriu del segment que té per punts extrems: $A(1,1)$ i $B(-2,3)$

Resolució:
La recta mediatriu del segment $AB$ és el lloc geomètric dels punts $P(x,y)$ tals que
$d(P,A)=d(P,B)$

per tant

$\left|\sqrt{\big(x-(-2)\big)^2+(y-3)^2}\right|=\left|\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right|$

llavors, els radicands també han de ser iguals

$\big(x-(-2)\big)^2+(y-3)^2=(x-1)^2+(y-1)^2$

desenvolupant les potències dels binomis, agrupan i simplificant, trobem l'equació de la recta mediatriu

$6x-4y+11=0$

$\square$

[autoría]

Acerca del número de cifras significativas en una cantidad afectada de incertidumbre

Considerem, per exemple, la quantitat $3,141$, amb quatre xifres, valor aproximat del nombre $\pi=3,14159 \ldots$ que hem obtingut fent un truncament per defecte d'aquest nombre. La qüestió que podem plantejar-nos és: són totes les xifres significatives correctes o bé són dubtoses algua o algunes (dels ordres inferiors) ? En general, per decidir si una determinada xifra és correcta (significativa) o bé dubtosa, en bona lògica, direm que és correcta si la fita d'error absolut $\Delta$ és més petita o bé igual que mitja unitat de l'ordre (posició) de la xifra corresponent. Afinant una mica més, direm que una xifra de la part entera és una xifra significativa correcta si es compleix la desigualtat $\Delta \le 0,5 \, \cdot \, 10^{n-1}$ on (n=1, si la xifra considerada correspon a les unitats; n=2, si correspon a les desenes, etcètera). I, per altra banda, cas que la xifra considerada sigui de la part decimal, direm que aquesta xifra significativa és correcta si es compleix la desigualtat $\Delta \le 0,5 \, \cdot \, 10^{-n}$ on (n=1, si la xifra considerada correspon a les dècimes; n=2, si correspon a les centèssimes, etcètera) Esbrinarem tot seguit si la xifra de les mil·lèsimes és dubtosa. Com que, en l'aproximació que hem fet, l'error absolut és igual a $|\pi - 3,141|=0,00059\ldots < 0,0006$ i, per tant, una fita d'error absolut és $\Delta = 0,0006$, tenint en compte que $n=3$, trobem que $\Delta > 0,5 \cdot 10^{-3}$, de la qual cosa es desprén que la xifra de l'ordre de les milèssimes és dubtosa. Pel que fa a la xifra de l'odre de les centèssimes de l'aproximació $\pi \approx 3,141$ (és a dir, el '4'), podem comprovar que és correcta. Vegem-ho. Donat que $\Delta = 0,0006$, i tenint en compte que, ara, $n=2$, trobem que $\Delta < 0,5 \cdot 10^{-2}$ i, per tant, es demostra que la xifra de l'ordre de les centèssimes és correcta. Les xifres d'ordre superior a la de les centèssimes (la de les dècimes i la de les unitats) també han de ser, lògicament, correctes. Resumint: en l'aproximació $\pi \approx 3,141$ tan sols hi ha tres xifres significatives correctes; l'última no l'és.