Acerca de la identidad de Bézout y las ecuaciones diofánticas lineales

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

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Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

Raíces de una función con términos radicales

Nos proponemos en este ejercicio encontrar las raíces de la función real de una variable real $$f(x)=x-\sqrt{-4x-3}$$

El dominio de definición de la función viene dado por la condición $-4x-3\ge 0$ (el argumento de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo), con lo cual, $4x \le 3$ y por tanto $x \le \dfrac{3}{4}$.

Impongamos la condición necesaria para que un cierto valor del dominio de definición de la función sea raíz de la misma: $f(x)=0$. Entonces, $x-\sqrt{-4x-3}=0 \quad (1)$ y por tanto $x=\sqrt{-4x-3}$. Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se llega a la ecuación algebraica $x^2=-4x-3$, esto es, $x^2+4x+3=0$ y, por tanto, $x=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^3-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ -1\end{matrix}\right.$. Si bien estos valores constituyen la solución de la ecuación algebraica a la que hemos llegado, transformando la original; y, también, forman parte del dominio de definición de la función $f(x)$ (ambos valores son menores que $\dfrac{3}{4}$), deberemos ver, no obstante, si son, también, solución de la ecuación original (1).

Veamos si $-1$ es solución de (1). Para ello sustituimos en el segundo miembro, y vemos que $\sqrt{-4\cdot (-1) -3}=\sqrt{1}=1$, que no es igual al valor del primer miembro, que es $-1$ (al sustituir $x$ por $-1$); así pues, $-1$ no es solución de (1) y por tanto no es una raíz de $f(x)$.

Examinemos ahora si $-3$ es solucioón de (1), procediendo de igual manera: el valor del segundo miembro de (1) es $\sqrt{-4\cdot (-3) -3}=\sqrt{9}=3$, mientras que el valor numérico del primer miembro para $x=-3$ da un valor distinto, $-3$. Ocurre pues lo mismo que con $-1$: tampoco $-3$ es solución de (1), luego $-3$ no es una raíz de $f(x)$. En definitiva, la función $f(x)$ no tiene raíces en el conjunto de los números reales (no hay contacto del trazo de la función con el eje de abscisas).$\diamond$

Número de ceros finales del resultado de $m!$

Una sencilla cuestión que puede despertarnos una cierta curiosidad es la siguiente: ¿Es posible determinar el número de ceros en que acaba el resultado de una multiplicación con números enteros, sin tener que realizar el cálculo de la misma?. La respuesta es afirmativa. Lo cual podemos demostrar mediante un sencillo razonamiento.

La idea clave es la siguiente: al realizar la multiplicación de varios números enteros, pongamos que $e_1\cdot e_2 \cdot \ldots \cdot e_n$, bien podremos expresar dicha multiplicación de la forma $a\cdot 10^k$, donde $k$ es, desde luego, un número entero no negativo y $a$ un número entero no divisible por $10$; entonces, resulta evidente que el número de ceros finales del resultado es igual al exponente $k$ del segundo factor, que es una potencia de diez. Para expresar la operación de esta manera, deberemos tener en cuenta que, como el número $10$ de la potencia es $10=2\cdot 5$, el exponente $k$, habrá de ser tal que éste sea igual al $\text{mín}(r,s)$, donde $r$ representa el exponente del factor $2^r$, y $s$ el exponente de $5^s$, que encontraremos en la factorización de los multiplacandos. A continuación, voy a exponer un par de ejemplos con números cómodamente manejables, para que esta idea quede bien clara. En especial, el segundo, que es el caso del cálculo del factorial de un número entero no negativo, nos llevará a un interesante resultado.

Ejemplo 1

¿Cuál es el número final de ceros de la operación $42\cdot 54 \cdot 25$?. Procedamos como hemos indicado arriba, recurriendo para ello a la descomposición factorial de los multiplicandos:
$42\cdot 54 \cdot 25=$
  $=(7\cdot 2 \cdot 3) \cdot (3^3\cdot 2)\cdot (5\cdot 5)$
    $=(7\cdot 3^4) \cdot (2\cdot 5)^2$
      $=(7\cdot 3^4) \cdot 10^2$
Luego al ser $k=2$, éste es el número de ceros finales del resultado, como puede comprobarse fácilmente.

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Ejemplo 2

¿Cuál es el número final de ceros del resultado de la operación factorial de $8$?. Teniendo en cuenta que el factorial de un número entero no negativo, $m$, es la multiplicación recurrente $m!:=m\cdot (m-1)!$, siendo $0!=1$, se tiene que:
$8!=8\cdot 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=$
  $=2^3\cdot 7 \cdot (2\cdot 3) \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
    $=2^7\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7$
      $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^7 \cdot 5^1$
        $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot (2\cdot 5)^1$, habida cuenta de que $\text{mín}(7,1)=1$, que es el valor del expoente $k$ de la potencia de diez
        $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot 10^1$
Luego al ser $k=1$, éste es el número de ceros finales del resultado, como puede también puede comprobarse fácilmente, multiplicando paso a paso, o, más cómodamente con una calculadora que disponga de la función factorial.

Observaciones importantes acerca de la obtención del número de ceros finales en el caso del resultado del factorial de $m$

Observación 1

Notemos que, como el número de múltiplos de $2$ de un número $m$ del cual queremos calcular su factorial (y que no es otra cosa que el valor de $r$) es mayor que el número de múltiplos de $5$ de $m$ (y que, desde luego, es igual a $s$), deducimos de ello que $k=\text{mín}(r,s)=s$, luego podemos facilitar el cálculo de $k$, que es igual a $s$, calculando directamente esta cantidad (el número de múltiplos de $5$), para lo cual basta obtener la parte entera de $\dfrac{m}{5}$ —véase, para mayor comprensión de ésto, este artículo de otro de mis blogs—, y que se suele denotar como $\left[\dfrac{m}{5}\right]$, esto es, el cociente de la división euclídea $m\div 5$. En el ejemplo anterior, vemos que al realizar la división $8 \div 5$ se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $3$, luego $k=\left[\dfrac{8}{5}\right]=1$; es decir, llegamos a la misma conclusión: $8!$ acaba en un solo cero, como ya habíamos deducido de la otra manera, más rudimentaria.

Esta otra forma de determinar el número de ceros finales es mucho más eficiente, en especial cuando el número del cual queremos calcular su factorial es un poco más grande. Así, por ejemplo, podemos comprobar —de las dos maneras— que el número de ceros finales de $11!$ es dos. Podemos ver que, procediendo según lo que primero he expuesto, el proceso es un poco más arduo, al manejar las potencias de los factores primos; sin embargo, de la segunda manera, es inmediato: $k=\left[\dfrac{11}{5}\right]=2$

Observación 2

Si el número $m$ del cual queremos obtener el número de ceros finales de su factorial es mayor o igual que $25$, se tiene que al ser $25=5\cdot 5$, además de calcular $\left[\dfrac{m}{5}\right]$, deberemos contabilizar, también, la parte entera $\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$ ya que, ahora, $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$, de acuerdo con la idea central alrededor de la que nos estamos moviendo. Así, por ejemplo, el número de ceros finales de $26!$ es $k=\left[\dfrac{26}{5}\right]+\left[\dfrac{26}{5^2}\right]=5+1=6$. Desde luego, esto no podremos comprobarlo —realizando expresamente el cálculo de $26!$— con una calculadora científica básica, pues ésta fuerza la expresión del resultado en punto/coma flotante (por carecer su procesador de los suficientes registros de memoria interna); sin embargo, sí podemos hacerlo con cualquier herramienta CAS, como, por ejemplo, WolframAlpha o MAXIMA, que sí mostraran el resultado en notación usual. En efecto, podemos ver que $26!=403\,291\,461\,126\,605\,635\,584\,000\,000$.

De manera parecida, si el número $m$ es mayor o igual que $5^3=125$, se tiene que, además de calcular $\left[\dfrac{m}{5}\right]$ y $\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$ , deberemos contabilizar, también, la parte entera $\left[\dfrac{m}{5^3}\right]$ ya que, ahora, $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]+\left[\dfrac{m}{5^3}\right]$. Así, por ejemplo, el número de ceros finales de $127!$ es $k=\left[\dfrac{127}{5}\right]+\left[\dfrac{127}{5^2}\right]+\left[\dfrac{127}{5^3}\right]=25+5+1=31$. Podremos comprobarlo realizando expresamente el cálculo de $127!$ (yo lo he realizado con WolframAlpha):
      $127!=$
      $=3012660018457659544809977077527059692324164918673621 \gg$
      $799053346900596667207618480809067860692097713761984609 \gg$
      $77994577278396556385103330077232629777308785186998250027066179124412259762176 \gg$
      $000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,0000$
donde pueden apreciarse, al final, los $31$ ceros (finales) previstos.

A modo de conclusión

Por consiguiente, fácilmente podemos generalizar lo anterior, de manera que, si $5^{\alpha} \le m \lt 5^{\alpha+1}$, donde $\mathbb{Z} \ni \alpha \ge 0$, tendremos que el número de ceros finales es igual a $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]+\ldots+\left[\dfrac{m}{5^{\alpha}}\right]$, que podemos expresar también de una forma más compacta como $$\displaystyle k=\sum_{j=1}^{\alpha}\,\left[\dfrac{m}{5^j}\right]$$ $\diamond$

Resolución de un problema de números enteros que pasa por resolver una ecuación diofántica lineal

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\} $, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)

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Un ejemplo de uso de Python para calcular el factorial de un número (entero no negativo) dado

El siguiente ejemplo de elaboración de programas empleando Python es muy sencillito. Puedes implementarlo en tu ordenador —instalando previamente el intérprete y algún entorno de programación (IDE) de Python—, o, bien, si dispones de de una Raspberry Pi, no te hará falta arreglar nada, pues Python es una pieza esencial en esa máquina, y ya viene preparado todo lo necesario. Por otra parte, te resultará también muy sencillo si utilizas alguna calculadora programable en este lenguaje (por ejemplo la calculadora Numworks); si no la tienes, no te preocupes: no hace falta que la compres, pues puedes utilizar el emulador en línea de la misma, abriendo un navegador de internet y siguiendo este enlace: https://www.numworks.com/simulator/. Te irás acostumbrando poco a poco de servirte de este efectivo recurso (programar): investigar y ayudarte así (escribiendo algoritmos e implementándolos) a resolver problemas de cálculo numérico.

Ejemplo. Cálculo del factorial de $n \in \mathbb{Z}\cup \{0\}$, $n!:=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1$, siendo $0!=1$

def factorial(n):
    resultado = 1
    for i in range(1, n+1):
        resultado *= i
    return resultado

print(factorial(5))  # imprime 120 (5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5)

En esta secuencia de imágenes te muestro los pasos que debes seguir para escribir (editar) el programa y ejecutarlo en el emulador en línea de la calculadora Numworks (lo encontraréis en su página web: https://www.numworks.com/simulator/):

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Ejemplo de resolución de un caso concreto de ecuación diofántica no lineal con dos variables

Se considera la ecuación $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$, donde $x,y$ son números enteros naturales distintos y finitos. Se trata de un tipo particular de ecuación diofántica no lineal. Veamos cómo resolverla.

Voy a suponer, sin pérdida de generalidad, que $x\gt y$ (los resultados serán también válidos si suponemos que $y\gt x$); entonces $\dfrac{1}{x}\lt \dfrac{1}{y} \therefore \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}$; es decir, $\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{2}{y} \Rightarrow y \lt 8$; y, recordando que estamos trantando con números positivos, llegamos a la siguiente acotación para $y$: $$1 \le y \lt 8$$

Voy a examinar ahora qué valores puede tomar la variable $x$ (teniendo en cuenta la acotación de $y$). Voy a despejar $x$ de $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$; para ello, multiplico ambos miembros por $4xy$ y llego a la ecuación equivalente $\dfrac{4xy}{x}+\dfrac{4xy}{y}=\dfrac{4xy}{4}$; simplificando, queda: $4y+4x-xy=0$, luego $x(4-y)+4y=0$, por tanto $$x=\dfrac{4y}{y-4}$$ Procedo a encontrar las parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución. Para ello, voy a calcular el valor de $x$ (si lo hay) para cada uno de los valores posibles de $y: 1,2,3,4,5,6,7$. Entonces,

• Si $y=1$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 1}{1-4}=-\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=2$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 2}{2-4}=-4 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=3$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 3}{3-4}=\dfrac{12}{-1}=-12 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=4$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 4}{4-4}=\dfrac{16}{0}=\infty$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=5$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 5}{5-4}=\dfrac{20}{1}=20 \in \mathbb{N}$, por tanto, $(20,5)$ —; recordemos que al suponer al principio que $x\gt y)$, bien podríamos haber supuesto que $y\gt x$, llegando también a encontrar esta otra solución—; y, permutando los valores de $x$ e $y$ la pareja $(5,20)$ también forma parte de la solución.
• Si $y=6$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 6}{6-4}=\dfrac{24}{2}=12 \in \mathbb{N}$ y por tanto, $(12,6)$ forma parte de la solución (por el mismo argumento del caso anterior), al igual que $(6,12)$.
• Si $y=7$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 7}{7-4}=\dfrac{28}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.

Resumiendo: la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números naturales: $\{(5,20),(20,5);(6,12),(12,6)\}$. $\diamond$

Una ecuación (no algebraica) bien curiosa

Me he encontrado con la siguiente ecuación $x^x=x$, siendo $\mathbb{R} \ni x \neq 0 $. Voy a entretenerme a resolver esta ecuación y, de paso, a apuntar una interesante generalización de la solución de dicha ecuación a otras que tienen la misma forma pero que son un poco más complicadas a la hora de analizarlas.

Mediante un sencillo ensayo de prueba y error, vemos que tanto $1$ como $-1$ satisfacen la igualdad; sin embargo, ¿consta la solución de más valores además de estos dos? Voy a resolver la ecuación, paso a paso, para demostrar que no hay más valores en las solución que éstos. Primero, nos conviene escribir la ecuación de manera equivalente como $x^x-x=0$. Entonces, como $x\neq 0$, sólo caben dos posibilidades, que $x$ sea un número positivo o bien que sea un número negativo:

1. Si $x\gt 0$, al ser $x\neq 0$, únicamente puede anular el primer miembro de la ecuación el segundo factor; entonces $x^x-x=0 \Rightarrow x\,(x^{x-1}-1)=0$, luego $x^{x-1}-1=0$, esto es $x^{x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{x-1}=x^0 \Rightarrow x-1=0$, con lo cual encontramos un primer valor para la solución $x_1=1$, que podemos comprobar sustituyendo en la ecuación, para ver que se cumple la igualda numérica: $1^{1}=1$, que es igual al valor del segundo miembro.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0 \therefore -x^{-x}-(-x)=0$, ecuación que podemos estudiar de la misma manera que en el caso anterior, es decir, $-x^{-x}+x=0$ luego $x\,(-x^{-x-1}+1)=0 \Rightarrow -x^{-x-1}+1)=0$, habida cuenta de que el primer factor, $-x$, no es nulo, luego $-x^{-x-1}=-1$, y por tanto $x^{-x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{-x-1}=x^0 \Rightarrow -x-1=0$, entonces la solución consta de un segundo valor: $x_2=-1$. En efecto, si substituimos en la ecuación se cumple la igualda numérica: $-1^{-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

-oOo- Observación (generalización): En general, y siempre que $x\neq 0$, puede comprobarse que para cualquier ecuación de la forma $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$, los únicos valores que forman la solución en $\mathbb{R}$ son los números enteros $-1$ y $1$. Ésto se puede hacer, por ejemplo, realizando la gráfica de la función $\displaystyle f(x)=x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}-x$ a partir de la elaboración de una tabla de valores —os sugiero que utilicéis una hoja de cálculo— para observar que, al visualizar la gráfica, los (únicos) dos puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas son los que tienen esos valores por abscisas. Y, desde luego, si substituimos uno y otro valor en la ecuación, es muy fácil comprobar que se cumple la igualdad numérica que corresponde a la igualdad algebraica $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$. Tambíen, os recomiendo —como curiosidad— que utilicéis alguna herramienta de cálculo simbólico (CAS) como por ejemplo WolframAlpha (el enlace dirige a la petición de resolución automática de una ecuación de este tipo) y, así, contrastar de una manera alternativa lo que se acaba de concluir. $\diamond$