ENUNCIADO. Un maleta está protegida con una contraseña de cuatro cifras ( cada una de ellas, entre $0$ y $9$ ). Al cerrar la maleta con una cierta contraseña, ésta se nos olvida; sin embargo, recordamos que habíamos elegido dos cifras pares distintas y dos cifras impares distintas. ¿Cuántas claves deberemos probar como máximo?
SOLUCIÓN. Hay $\displaystyle \binom{5}{2}$ maneras de elegir las dos cifras pares y $\displaystyle \binom{5}{2}$ maneras de elegir las dos cifras impares. Por otra parte, podemos permutar las cuatro cifras de $4!$ maneras posibles. Así, pues, por el principio multiplicativo, hay, a lo sumo, un total de $\displaystyle 4!\cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{5}{2} = 24\cdot 10\cdot 10 = 2400$ posibles claves a examinar. $\square$
jueves, 22 de febrero de 2018
domingo, 19 de noviembre de 2017
martes, 30 de mayo de 2017
Elaboración de un programa en GNU Octave que resuelve la distribución de bolas idénticas entre un cierto número de personas
El número de maneras de repartir $3$ bolas idénticas entre $n$ personas es un problema de combinaciones con repetición (lo representamos de la forma $CR_{n,3}$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{n}{3}\right)$), y es igual a $$\displaystyle \binom{3+n-1}{3}=\binom{n+2}{3}=\dfrac{(n+2)!}{3!\cdot (n-1)!}=\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}$$ A continuación se muestra el código del programa escrito en el lenguaje de programación GNU Octave, mediante el cual, podemos visualizar cada uno de los repartos posibles:
Elaboración de un programa en GNU Octave que resuelve la distribución de bolas distintas entre un cierto número de personas
El número de maneras de repartir $3$ bolas de distinto color ( azul, rojo y negro ) entre $n$ personas es un problema de variaciones con repetición, y es igual a $$\displaystyle n^3$$ A continuación se muestra el código del programa escrito en el lenguaje de programación GNU Octave, mediante el cual, podemos visualizar cada uno de los repartos posibles:
martes, 2 de mayo de 2017
Las funciones piso, techo, parte entera, mantisa y redondeo
La función piso, $\lfloor x \rfloor$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \lfloor x \rfloor = \text{máx}\{ k \in \mathbb{Z}: k \le x \}$$ Ejemplos: $\lfloor 1,3 \rfloor = 1$; $\lfloor -1,3 \rfloor = -2$; $\lfloor 0,3 \rfloor = 0$
La función techo, $\lceil x \rceil$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \lceil x \rceil = \text{mín}\{ k \in \mathbb{Z}: k \ge x \}$$ Ejemplos: $\lceil 1,3 \rceil = 2$; $\lceil -1,3 \rceil = -1$; $\lceil 0,3 \rceil = 1$
La función parte entera, $\
[ x ]$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ [x]=\left\{\begin{matrix}\lceil x \rceil & \text{si} & x\ge 1 \\ 0 & \text{si} & -1 \le x\le 1 \\ \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\le -1 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $[ 1,3 ] = 2$; $[-1,3 ] = -2$; $[0,3] = 0$; $[-0,3] = 0$
Observación: Definición de la función empleando el condicional ( GeoGebra ): Si[x<-1,ceil(x),Si[x>1,floor(x),0]]
La función mantisa (o parte decimal ), $\
\{ x \}$, de $\mathbb{R}$ en $(-1,1)\subset \mathbb{R}$, se define de la siguiente manera: $$ \{x\}=\left\{\begin{matrix}x - \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\ge 0 \\ \lfloor x \rfloor - x & \text{si} & x \prec 0 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $\{ 1,3 \} = 0,3$; $\{-1,3 \} = 0,3$
La función redondeo, $\text{redondeo}(x)$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \text{redondeo}(x)=\lfloor(x+0,5)\rfloor$$ Ejemplos: $\text{redondeo}(1,4)=1$; $\text{redondeo}(1,6)=2$; $\text{redondeo}(-0,7)=-1$; $\text{redondeo}(-0,2)=0$;$\text{redondeo}(-1,8)=-2$
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La función techo, $\lceil x \rceil$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \lceil x \rceil = \text{mín}\{ k \in \mathbb{Z}: k \ge x \}$$ Ejemplos: $\lceil 1,3 \rceil = 2$; $\lceil -1,3 \rceil = -1$; $\lceil 0,3 \rceil = 1$
La función parte entera, $\
[ x ]$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ [x]=\left\{\begin{matrix}\lceil x \rceil & \text{si} & x\ge 1 \\ 0 & \text{si} & -1 \le x\le 1 \\ \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\le -1 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $[ 1,3 ] = 2$; $[-1,3 ] = -2$; $[0,3] = 0$; $[-0,3] = 0$
La función mantisa (o parte decimal ), $\
\{ x \}$, de $\mathbb{R}$ en $(-1,1)\subset \mathbb{R}$, se define de la siguiente manera: $$ \{x\}=\left\{\begin{matrix}x - \lfloor x \rfloor & \text{si} & x\ge 0 \\ \lfloor x \rfloor - x & \text{si} & x \prec 0 \end{matrix}\right.$$ Ejemplos: $\{ 1,3 \} = 0,3$; $\{-1,3 \} = 0,3$
La función redondeo, $\text{redondeo}(x)$, de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Z}$, se define de la siguiente manera: $$ \text{redondeo}(x)=\lfloor(x+0,5)\rfloor$$ Ejemplos: $\text{redondeo}(1,4)=1$; $\text{redondeo}(1,6)=2$; $\text{redondeo}(-0,7)=-1$; $\text{redondeo}(-0,2)=0$;$\text{redondeo}(-1,8)=-2$
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miércoles, 19 de abril de 2017
domingo, 2 de abril de 2017
Manejando funciones con GNU Octave
En la siguiente imagen se muestra una manera ( hay otras formas de hacerlo ) de definir una función ( ejemplo: $f(x)=x^2+x+1$ ) con la herramienta GNU Octave, para luego valorarla, fijando algunos valores de la variable independiente $x$.
Nota: Para realizar esta prueba de cálculo se ha empleado la interfaz gráfica de usuario ( GUI ) del programa, si bien también puede usarse la consola de comandos ( CLI )
Nota: Para realizar esta prueba de cálculo se ha empleado la interfaz gráfica de usuario ( GUI ) del programa, si bien también puede usarse la consola de comandos ( CLI )
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