Igualdad de dos conjuntos

Para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales, debe probarse que A está incluido en B ( todo elemento de A debe ser también un elemento de B ) y que B está incluido en A ( todo elemento de B debe ser también un elemento de A ).

Conjuntos, proposiciones y lenguaje matemático

ENUNCIADO. Exprésese en el lenguaje natural la siguiente proposición $$(\dot{2}) \cap (\dot{3}) = (\dot{6})$$

Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.

SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$

En el lenguaje natural, tal como se pide, ésto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
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En fila india

ENUNCIADO. Diez personas quieren colocarse en fila india, de manera que la más baja y la más alta no estén juntas en ningún caso. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

SOLUCIÓN. Si no impusiéramos la resctricción tendríamos $\text{P}_{10} = 10! = 3\,628\,800$ posibilidades; y, si hacemos el recuento de los casos en que la persona más baja y la más alta están juntas vemos que, como hay $\text{P}_{2}$ maneras de colocar a la pareja formada por la persona más baja y la persona más alta juntas en algún lugar de la fila y $\text{P}_{10-2}$ de colocar al resto de personas, aplicando el principio de independencia encontramos $\text{P}_{2} \cdot \text{P}_{10-2}= 2 \cdot 8! = 80\,640$ maneras de formar una fila india en la que la persona más baja y la más alta estén juntas, luego restando dichas cantidades obtenemos: $\text{P}_{10}-\text{P}_{2}\cdot \text{P}_{10-2}=3\,628\,800-80\,640=3\,548\,160$ maneras de colocarse en fila india a las diez personas, evitando que la persona más baja y la más alta estén juntas.
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Ordenando dígitos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros positivos de 5 cifras podemos formar, sin repetir ninguna, de tal modo que las tres primeras sean impares y las dos últimas pares ?

SOLUCIÓN. Dado que el conjunto de cifras pares es $\{0,2,4,6,8\}$, hay $\text{V}_{5,2}=5\cdot 4=20$ maneras de elegir la pareja de cifras correspondiente a las unidades y a las decenas ( que han de ser pares ); y, como disponemos de $5$ cifras impares, $\{1,3,5,7,9\}$, tenemos $\text{V}_{5,3}=5\cdot 4 \cdot 3=60$ maneras de elegir la terna de cifras impares que encabeza el número. Luego, por el principio de independencia, habrá $20\cdot 60=1\,200$ números posibles que cumplan las condiciones del enunciado.
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Ordenando libros en un estante

ENUNCIADO. Tenemos 7 libros de matemáticas y 3 de física. ¿De cuántas maneras podemos colocar cuatro de esos libros de matemáticas y uno de física en un estante, de manera que el libro de física ocupe siempre la posición central?

SOLUCIÓN. Hay $3$ posibilidades de elegir el libro de física que queremos colocar y $\text{V}_{7,4}$ maneras de elegir los libros de matemáticas -- se trata aquí de variaciones ordinarias, pues importa el orden de colocación y no podemos repetir un mismo libro --, luego, por el principio de independencia, podemos ordenarlos de $3\cdot \text{V}_{7,4} = 3 \cdot ( 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 ) = 3 \cdot 840 = 2\,520$ maneras distintas.
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Ecuaciones curiosas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiene ecuación $$\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=2$$ donde, en el primer miembro, figuran infinitas sucesivas potencias

SOLUCIÓN. Es evidente que el valor de $x$ que satisface dicha ecuación ha de ser tal que $1\prec x \prec 2$. Por otra parte, descartando una de las infnitas potencias sucesivas, podemos escribir la ecuación original de manera equivalente de esta sencilla forma $$x^2=2$$ y, por tanto, la solución es $x=|\sqrt{2}|$

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Observación 1: Démonos cuenta de que la solución encontrada corresponde a la abscisa del punto de intersección entre las gráficas de las funciones $f(x==\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ y $g(x)=2$; y puede comprobarse ( realizando unas cuantas potencias sucesivas con la calculadora científica ) que $\displaystyle |\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{|\sqrt{2}|^{\dots}}}}=2$

Observación 2: Si cambiamos el valor del término independiente, procederíamos de la misma manera. Así, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=3$ es equivalente a $x^3=3$ y por consiguiente $x=\sqrt[3]{3}$. Por otra parte, si el término independiente es menor que $1$, la solución que obtenemos es también menor que $1$. Veamos el siguiente ejemplo: $$\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=0,1$$ ecuación que, por lo dicho arriba, podemos escribirla de la forma $$x^{0,1}=0,1$$ o lo que es lo mismo $x^{1/10}=\dfrac{1}{10}$ con lo cual $$x=\left( \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 0$$

Ahora bien, me he encontrado con un caso que me ha causado cierta sorpresa: si el término independiente es $4$, la ecuación $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=4$ tiene la misma solución que la primera que se ha comentado $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}=2$, ya que es claro que podemos escribir la ecuación de la forma $x^4=4$, de donde se desprende que $x^2=\pm 2$, y por tanto, $x=|\sqrt{2}|$. La sorpresa reside en que al ser los primeros miembros iguales de una y otra ecuación, $\displaystyle x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$, teniendo ambas ecuaciones la misma solución, debería concluirse que $2=4$, lo cual es evidentemente falso. Démonos cuenta de que el razonamiento anterior no es correcto, puesto que, si reparamos en que la función $f(x)=x^{x^{x^{x^{\dots}}}}$ crece muy rápidamente, tras realizar una cuantas potencias sucesivas, nos encontramos con que, prácticamente, su trazo es una recta perpendicular al eje de abscisas, lo que explica que las ordenadas de los puntos de corte con las rectas de ecuaciones $x=2$ y $x=4$ sean las mismas cuando realizamos infinitas potencias sucesivas.

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Un problema sencillo sobre coincidencias

ENUNCIADO. Dos personas se encuentran en la planta baja de un edificio de tres plantas y se montan en el ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que, en el trayecto de subida, decidan bajarse en la misma planta?

SOLUCIÓN. La siguiente tabla ilustra las posibles elecciones de planta, en el conjunto {1,2,3}, de cada una de las tres personas P1, P2 y P3:

P1|P2
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1 | 1
1 | 2
2 | 1
2 | 2
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.
.
3 | 1
1 | 3
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.
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3 | 3

El número total de posibilidades es $\text{VR}_{3,2}=3^2$ y el número de posibilidades favorables a elegir la misma planta, {(1|1),(2|2),(3|3)} es evidentemente $3$. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $\dfrac{3}{3^2}=\dfrac{1}{3}$
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