Haz de rectas que se cortan en un punto

Sabemos que una recta viene determinada por un punto y un vector en su misma dirección. Así que si, fijado un punto, dejamos libre el vector de manera que apunte en todas las direcciones del plano podemos escribir las rectas del haz en forma vectorial: $\mathcal{H}\equiv (x,y)=(x_P,y_P)+\lambda\,(m,n)$, donde $\lambda$ es el parámetro ( $\lambda \in \mathbb{R}$ ) de dicha ecuación vectorial y $m$ y $n$ son son las coordenadas del vector.

A partir de dicha ecuación vectorial podemos escribir las ecuaciones paramétrica de cualquier recta del haz $$\left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\,m \\ y=y_P+\lambda\,n \end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones obtenidas llegamos a la ecuación enforma continua $$\dfrac{x-x_P}{m}=\dfrac{y-y_P}{n}$$ y, de aquí, podemos escribir la ecuación del haz de rectas que se cortan en el punto $P(x_P,y_P)$ de la forma $$\mathcal{H}\equiv n\,(x-x_P)= m\,(y-y_P) \quad \quad m,n\in \mathbb{R}$$

EJEMPLO. Se considera el haz de rectas que se cortan en el punto $P(1,2)$. Se pide:
a) Escribir la ecuación del haz
b) Determinar la ecuación de la recta del haz que contiene al punto $Q(-1,3)$. Hallar la pendiente de dicha recta y un vector director de la misma

SOLUCIÓN.
a) $$\mathcal{H}\equiv n\,(x-1)= m\,(y-2)\,; \,\forall m,n\in \mathbb{R}$$

b) Sustituyendo $x$ e $y$ por las coordenadas de $Q$ obtenemos $n\,(-1-1)=m\,(3-2)$, esto es $-2n=m$, con lo cual la recta pedida vendrá descrita por $$n\,(x-1)=-2n\,(y-2)$$ y dividiendo ambos miembros por $n$, deducimos que la recta $r_Q \in \mathcal{H}$ tiene por ecuación $$r_Q\equiv x-1=\dfrac{y-2}{-1/2} \sim \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-1}$$ de donde deducimos que la pendiente de dicha recta es $-\dfrac{1}{2}$ y un vector director de la misma es $\vec{u}_{r_{Q}}=(2,-1)$
$\square$