Un ejemplo sencillo de manejo de errores con las medidas de ángulos

Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $\angle (CBA)=90^\circ$, $a=2,1 \pm 0,05$ m i $c=3,4 \pm 0,5$ m. Nos planteamos la siguiente cuestión: con qué precisión podemos calcular el valor del ángulo $\angle (BAC)$ (que, por comodidad, denotaremos por $\alpha$) ?

El valor calculado del ángulo $\alpha$ deberá pertenecer al intervalo de incertidumbre que tiene por extremos superior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1+0,05}{3,4-0,05}\Big)} \approx 32,69^\circ$ y por extremo inferior $\arctan{\Big(\dfrac{2,1-0,05}{3,4+0,05}\Big)} \approx 30,72^\circ$ esto es, en el intervalo centrado de radio $\dfrac{30,72º-32,69º}{2} =0,985 \lt 1^{\circ}$ y centro $\dfrac{30,72^\circ+32,69^\circ}{2}\approx 32^\circ$

Y, para terminar, a partir del valor del radio de dicho entorno, podemos encontrar la cota de error absoluto del resultado $\Delta_{\alpha} = 1^\circ$ Por lo tanto, podemos concluir que el valor del ángulo calculado tendrá el siguiente margen de error, $\alpha = 32^\circ \pm 1^\circ$ $\diamond$

Propagación a través de los cálculos de los errores en los datos. Un ejemplo sencillo

Se han medido las longitudes de una parecela retangular: $a=21,64\,\text{m}$ y $b=17,3\,\text{m}$. Vamos a calcular el intervalo de incertidumbre del área de dicho rectángulo, reflexionando acerca de las cifras que son significativas en el valor del área que presentaremos a partir del sencillo cálculo de la misma.

Tengamos en cuenta, para empezar, el número de cifras significativas de las medidas, es decir, la precisión con la que se han realizado. La medida del lado $a$ viene dada con $4$ cifras significativas, siendo la última (así como la penúltima) de la parte decimal (la de las centésimas de metro), con lo que, razonablemente, atendiendo a esta última, podemos atribuirle un margen de error (cota de error absoluto) de media unidad del orden de magnitud correspondiente a la última cifra significativa: $0,005\,\text{m}$. Y, por otra parte, en la medida del lado $b$ hay $3$ cifras significativas, la última de las cuales es de la parte decimal (la de las décimas de metro), con lo cual su margen de error, siguiendo el criterio explicado, es de $0,05 \,\text{m}$. Resumiendo, tomamos como cotas de error absoluto de esas medidas las siguientes: $\Delta_a=0,005\, \text{m}$ y $\Delta_b=0,05\, \text{m}$

Calculemos ahora el valor del área (producto de los dos lados), adecuando (aproximando por redondeo) el resultado de la operación de manera que el número de cifras significativas sea el del menor número de cifras significativas de los dos factores, que es $3$, pues, habiendo en la operación productos (o, también, cocientes si los hubiese) como operaciones aritméticas básicas, tal es el criterio razonable cuando operamos con datos que de por sí ya vienen afectados de cierta imprecisión. Así, tenemos que $$A=a\cdot b=\overset{\text{4 c.s.}}{21,64}\cdot \overset{\text{3 c.s.}}{17,3}\overset{\text{3 c.s.}}{\approx} 374\,\text{m}^2$$

A continuación, atendiendo al margen de error de los datos, vamos a calcular los extremos superior e inferior del área, $A_s$ y $A_i$, aproximando los resultados al mismo número de cifras significativas que el resultado anterior del área ($3$ c.s.), por truncamiento con $3$ cifras significativas, por exceso y por defecto, respectivamente. En buena lógica, $$A_s=(a+\Delta_a)\cdot (b+\Delta_b)=(21,64+0,005)\cdot (17,3+0,05)\overset{\text{t. por exceso}}{\approx} 376\,\text{m}^2$$ y $$A_i=(a-\Delta_a)\cdot (b-\Delta_b)=(21,64-0,005)\cdot (17,3-0,05)\overset{\text{t. por defecto}}{\approx} 373\,\text{m}^2$$

Podemos pues afirmar que el valor verdadero del área de dicho rectángulo (expresada en metros cuadrados) se encuentra en intervalo de incertidumbre: $$A \in (373\;,\;376)\subset \mathbb{R} \quad (1)$$.

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Ahondando un poco más, y a modo de conclusión: Es de notar que, como todo cálculo amplifica los errores en los datos del mismo, al propagarse dichos errores a través del mismo, es posible que se pierdan cifras significativas en el resultado que obtengamos, aún habiendo limitado el número de significativas en la presentación del resultado al del menor número de cifras significativas de entre los datos (que son tres). Así, como vamos a ver a continuación, no todas las cifras del resultado presentado, $374\,\text{m}^2$, son significativas.

En concreto, la cifra de las unidades se ha perdido como cifra significativa; en efecto, démonos cuenta de que el punto punto medio del intervalo de incertidumbre que hemos calculado es $374,5$ y la semiamplitud del mismo $\Delta_A=\dfrac{376-373}{2}=1,5$. Comprobamos que, efectivamente, el valor calculado, $374\,\text{m}^2$, está en dicho intervalo, pero, para que la cifra de menor peso, la de las unidades, fuese una cifra significativa, el margen de error del resultado que hemos dado debería ser igual o inferior a $0,5$ (media unidad del orden de magnitud de la última cifra, la de las unidades), sin embargo la semiamplitud del intervalo calculado, $1,5$, es mayor que $0,5$, por lo que se deduce de ello que la cifra de las unidades no es una cifra significativa.

En consecuencia, en el resultado del cálculo que hemos presentado, $374\,\text{m}^2$, sólo son cifras significativas la de las decenas y la de las centenas; la de las unidades no lo es, por lo que, podemos afirmar que el valor del área obtenido es $$A \approx \mathbb{37}\underset{?}{4}\,\text{m}^2$$ en el cual, de acuerdo con lo que acabamos de razonar, hay que anotar que tiene 2 cifras significativas, las de mayor peso, la de las centenas y la de las decenas, siendo sin embargo dudosa la de las unidades.

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Nota importante: De manera alternativa y mucho más correcta, también puede resolverse este ejercicio, recurriendo al cálculo de la cota de error relativo del resultado a partir de las cotas de error relativo de los factores, teniendo en cuenta su relación con la cota de error absoluto, de manera parecida a tal como he hecho, por ejemplo, para resolver este otro problema: [1 (muy recomendable)]

Procedamos a hacerlo de esta manera y veremos que los resultados que obtendremos son más correctos que los obtenidos anteriormente de manera un tanto estimativa. Para ello, es necesario recordar que como en el cálculo del área interviene una operación de producto, $A=a\cdot b$, la cota de error relativo del área es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos: $\varepsilon_A=\varepsilon_a+\varepsilon_b$. Una vez hayamos calculador la cota de error relativo de $A$, tan solo tendremos que hacer uso de la relación entre la cota de error absoluto y la de error relativo: $\Delta_A = A\cdot \varepsilon_A$

Calculemos, primero, las cotas relativos de los factores: $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_a}{a}=\dfrac{0,005}{21,64}$ y $\varepsilon_a:=\dfrac{\Delta_b}{b}=\dfrac{0,05}{17,3}$. Entonces $\varepsilon_A=\dfrac{0,005}{21,64}+\dfrac{0,05}{17,3}\approx 3,121\times 10^{-3}$, con lo cual $\Delta_A=374 \cdot 3,121\times 10^{-3} \overset{3 c.s.}{\approx}1,17\,\text{m}^2$.

Así, tenemos que el intervalo de incertidumbre que contienen al valor verdadero del área es $[374-1,17\;,\;3,74+1,17]\overset{3 c.s.}{=}[373\;,\;375]\,\text{m}^2$. Este resultado es un poco más preciso que el obtenido estimativamente en $(1)$, si bien llegamos a la misma conclusión en lo que se refiere a que la cifra de las unidades en el valor obtenido del cálculo del área es dudosa.

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Un ejercicio para adecuar el resultado al número de cifras significativas que corresponda, según intervengan sumas o productos en la operación combinada del resultado, atendiendo al número de cifras signicativas de los datos (los datos de las medidas son siempre inexactos)

Se ha encargado a una velería la elaboración de una vela triangular con las siguientes medidas de los lados: $g=7,2\,\text{m}$ (longitud del grátil, con $3$ cifras significativas [$3$ c.s.] y $1$ cifra decimal significativa [$1$ c.d.s.]); $b=6,11\,\text{m}$ (longitud de la baluma, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.), y $p=5,23\,\text{m}$ (longitud del pujamen, con $3$ c.s. y $2$ c.d.s.). Se pide que calculemos el área y el perímetro de la vela, adecuando el resultado al número de cifras significativas que corresponda a cada cálculo.

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Antes de comenzar con los cálculos del problema, es necesario recordar que se dice que una cifra de una determinada cantidad es una cifra significativa si su valor se conoce con seguridad. Una dato extraído siempre de una medida o del resultado de un cálculo precedente es tanto más preciso cuánto mayor sea su número de cifras significativas. Cuando hablemos del número de cifras significativas de una cantidad, nos referimos al conjunto de sus cifras significativas, ya sean de la parte entera o de la parte decimal de dicha cantidad (en el caso de que tenga una parte decimal); si, en particular, hablamos del número de cifras decimales significativas de una cantidad con parte decimal, nos referimos únicamente a las cifras significativas de la parte decimal de la misma. Por eso, en los datos del enunciado, por ejemplo, decimos que $5,23$ tiene tres cifras significativas, la de la parte entera y las dos de la parte decimal; a las dos de la parte decimal, aclaramos que son cifras decimales significativas, lo cual, como veremos enseguida, es importante en el caso de que la operación combinada del cálculo global conste tan sólo de sumas o restas.

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Nota: Aunque en este ejercicio no nos haga falta lo que voy a comentar ahora, sabed que una manera segura de contabilizar el número de cifras significativas de un dato y evitar así errores a la hora de contabilizarlas consiste en expresar la cantidad de dicho dato en notación científica: el número de cifras de la mantisa será, sin lugar a dudas, el número de cifras significativas de dicho dato; por ejemplo, consideremos un dato (no tiene nada que ver con este problema) tal como $145,007\,6$; éste tiene siete cifras significativas (en este caso los dos ceros también lo son), y, para ver ésto con claridad —hay datos en los que ciertos ceros que aparecen en ellos no son cifras significativas; tal es el caso de $0,0017$, y que tiene pues sólo dos cifras significativas, el $1$ y el $7$— en el caso de $145,007\,6$, sí son significativos los ceros que aparecen; para salir de dudas, puede escribirse en notación científica, $1,450\,076 \times 10^4$, y viendo pues que la mantisa $1,450\,076$ consta cláramente de $7$ cifras, podemos asegurar que esas siete cifras son todas las cifras significativas de $145,007\,6$.

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Para presentar el número correcto de cifras significativas en la cantidad que resulta del cálculo, hay que tener en cuento algo muy importante y que resulta evidente: la precisión del resultado en un cálculo no puede ser mayor que la del dato que, como resultado que es de una medición, tenga menos precisión, es decir, la de aquél que tenga el menor número de cifras significativas; así que, en buena lógica, y en lo que respecta a las operaciones básicas de suma/resta y multiplicación/división, deberemos tener en cuenta que:

1. El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o una división no será mayor que el menor número de cifras significativas del factor que, como dato, sea el menos preciso (que el que tenga el menor número de cifras significativas de entre el conjunto de factores)
2. El número de cifras decimales significativas en el resultado de una suma o una resta no será mayor que el menor número de cifras decimales significativas del sumando que tenga menos precisión (que el que tenga el menor número de cifras decimales significativas)

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Ya estamos ahora en condiciones de ponernos a realizar los cálculos de este problema y a presentar correctamente los resultados en cuanto al número de cifras significativas que proceda.

El perímetro de un triángulo viene dado por la suma de los lados, esto es, $7,2+6,11+5,23$, y cuyo resultado, con todas las cifras del resultado, tal cual, es $18,54$; ahora bien, debemos adecuarlo al número de cifras significativas que le corresponte: tratándose de una suma, el número de cifras decimales significativas de dicha suma ha de ser igual al número de cifras decimales significativas del dato que tiene el menor número de las mismas, que corresponde a la longitud del grátil, que tiene $1$ c.d.s., luego el resultado, con la aproximación (por redondeo) a $1$ cifra decimal significativa es $18,5\, \text{m}$ (con $1$ c.d.s.)

Para calcular el área, vamos a utilizar la fórmula de Herón: $A=\sqrt{s\,(s-g)\,(s-b)\,(s-p)} \quad (1)$, donde $s$ denota el semiperímetro. En el cálculo del semiperímetro intervienen dos sumas y una división por $2$ (que es un dato exacto), cuyo resultado es $s=9,27$ (con todas sus cifras). Como, naturalmente, el cálculo hay que completarlo con dos restas/sumas, tres productos y una raíz cuadrada, utilizamos todas esas cifras del semiperímetro, por lo que la operación combinada y completa de (1) nos da $15,651\,618\,86$, pero, claro está, tenemos que adecuar ese resultado que leemos en la calculadora, aproximándolo por redondeo, al menor número de cifras significativas que corresponde al dato con el menor número de cifras significativas que intervenga en la operación combinada (1), por figurar en ella operaciones de multiplicación; el dato con el menor número de cifras significativas es la longitud del grátil, que tiene $2$ c.s., luego el resultado que deberemos presentar (aproximando por redondeo) es $16\,\text{m}^2$ (con $2$ c.s.).

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