Jugando al dominó con probabilidades

ENUNCIADO. Considérese un juego de dominó [ 28 fichas, cada una de las cuales tiene un par de números, del $0$ al $7$, iguales o distintos ]. Un jugador elige $7$ fichas al azar, y la vez. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan un '3' ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente cinco fichas con un mismo número ?

SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas; utilizaremos, pues, la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio para calcular el número de casos favorables y el número de casos posibles.

a) Denotemos por $A_3$ al suceso pedido, entonces $$P(A_3)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A_3)}{N}$$ El número de casos en total, esto es el número de maneras de elegir un conjunto
de $7$ fichas a la vez de un total de $28$, $N$, es igual a $\binom{28}{7}=1\,184\,040$

Vamos a calcular ahora el número de casos favorables $N(A_3)$. Como hay $\binom{7}{5}$ maneras de elegir $5$ fichas que tengan un '3' ( ya que hay $7$ fichas que tengan un '3' ) y, por tanto, $\binom{28-7}{2}$ maneras de elegir las dos fichas restantes ( al haber $28-7$ fichas que no tengan el '3' ), llegamos a, por el principio multiplicativo, $$N(A_3)=\dfrac{\binom{7}{5}\cdot \binom{28-7}{7-5}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{4\,410}{1\,184\,040}=\dfrac{49}{13\,156}\approx 0,0037$$

OBSERVACIÓN. La expresión obtenida corresponde a la probabilidad del modelo llamado hipergeométrico

b)
Ahora nos interesamos no sólo por que salga un '3', sino también por que salga también cualquiera de los otros seis números. Podemos repetir lo que acabamos de hacer para calcular la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan cualquiera de los otros seis números, por lo que resulta evidente que $P(A_0)=P(A_1)=\ldots=P(A_6)=\dfrac{49}{13\,156}$, luego la probabilidad pedida en este segundo apartado es $P(A_0 \cup \ldots \cup A_6)$, y siendo dichos sucesos incompatibles (1), resulta ser igual a $P(A_0)+\ldots+P(A_6)=7\cdot P(A_3)$ esto es $$7\cdot \dfrac{49}{13\,156}=\dfrac{343}{13\,156}\approx 0,0261$$

ACLARACIÓN 1: Para pensar con claridad, tengamos en cuenta que las $28$ fichas son las siguientes

06 
05  16
04  15  26
03  14  25  36
02  13  24  35  46  
01  12  23  34  45  56
00  11  22  33  44  55 66

Así que no es posible que los sucesos $A_i$ y $A_j$ ( donde $i$ y $j$ toman valores en $\{0,1,2,\ldots,6\}$ ) sean compatibles, ya que, por ejemplo, si $(i,j)=(3,4)$, fijado $i=3$ hay otras $6$ fichas que contienen el '3': $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)$ ; y, fijado $j=4$, hay otras $6$ fichas que contienen el '4': $(0,4),(1,4),(1,4),(4,4),(5,4),(6,4)$. Si pensamos en la posibilidad de tener cinco fichas con el '3' y con el '4', vemos que es imposible, habida cuenta que sólo disponemos de $7$ fichas, y sólo una, la $(3,4)$ contiene el '3' y el '4'. Lo mismo ocurre con los otros pares de números. Así que $A_i \cap A_j = \emptyset$, luego $P(A_i \cap A_j)=0$ para todo $i$ y todo $j$ ( con $i \neq j$ ) en $\{0,1,2,\ldots,6\}$, esto es, los sucesos $A_i$ y $A_j$ con $i \neq j$ son incompatibles.


$\square$

Repartiendo cartas

ENUNCIADO. Consideremos una baraja española. Se dan seis cartas a un jugador. ¿ Cuál es la probabilidad de que las seis cartas sean del mismo palo ?.

SOLUCIÓN. Todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio.

Denotemos por $A$, el suceso "obtener seis cartas de alguno de los cuatro palos". Procedemos a calcular el número de casos favorables $N(A)$ a dicho suceso, así como el número total de maneras de elegir seis cartas, $N$, de entre las $40$ cartas que tiene la baraja.

El número de maneras de elegir seis cartas del primer palo, o del segundo, o del tercero, o bien del cuarto palo, podemos calcularlo de la siguiente forma: Como hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir un determinado palo y $\binom{10}{6}$ maneras de elegir seis cartas de uno de dichos cuatro palos, entonces $N(A)=\binom{4}{1}\cdot \binom{10}{6}=840$ casos favorables a dicho suceso. Por otra parte, el número total, $N$, de maneras de dar seis cartas es $\binom{40}{6}=3\,838\,380$

Entonces, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{840}{3\,838\,380} \approx 0,00022 = 0,022\,\%$$

$\square$

Derivada de una suma de funciones

Función derivada de una suma de funciones derivables

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)$. De la definición de derivada $\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ podemos escribir $\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)+h(x))}{\Delta x}$ y, por la propiedad aditiva del límit, queda
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta h(x)}{\Delta x}$
es decir
$\displaystyle f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Ejemplo:
Dada la función $f(x)=x^3+x^2$, su derivada es $\big(x^3\big)^{'}+\big(x^2\big)^{'}=3\,x^2+2\,x$

$\square$

Derivada de un término potencial

Derivada de un término polinómico

Sea la función $f(x)=x^n$ donde $n$ representa un número natural. Nos proponemos encontrar la regla de derivación, esto es, la estructura de la función derivada.
De la definición de derivada de una función, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ podemos escribir $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$$ y, por el desarrollo de la potencia de un binomio, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x^n+C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n})-x^n}{\Delta x}$$ Simplificando,
$$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n}}{\Delta x}$$ Finalmente, para resolver la indeterminación de tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ con la que nos encontramos, extraemos factor común de $\Delta x$ y volvemos a pasar al límite, con lo cual encontramos el siguiente resultado $$\displaystyle C_{n,1}x^{n-1}$$ que es igual a $$n\,x^{n-1}$$ es decir, $$f^{'}(x)=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo 1:
Dada la función $f(x)=x^3$, su derivada es $f^{'}(x)=3\,x^2$

Derivada de un término potencial, con exponente ( en general ) real

Se demuestra -- puede hacerse con ayuda de los logaritmos -- que la regla de derivación anterior se extiende a exponentes reales; es decir, si $$f(x)=x^p$$ donde $k \in \mathbb{R}$, entonces $$f^{'}(x)=k\,x^{k-1}$$

Ejemplo 2:
Dada la función $f(x)=\sqrt{x}$, podemos derivarla mediante dicha regla. Para ello, reescribimos la función de la forma equivalente $$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$; así que, siendo $k=1/2$, su derivada es igual a $f^{'}(x)=\frac{1}{2} \, x^{-\frac{1}{2}}$

Ejemplo 3:
Dada la función racional $f(x)=\frac{1}{x}$, podemos derivarla mediante esa misma regla si expresamos previamente la función a derivar como $f(x)=x^{-1}$; entonces,
como $k=-1$, su derivada es $$f^{'}(x)=-x^{-2}$$ que podemos expresar de forma equivalente así $$f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$$

Ejemplo 4:
Dada la función $$f(x)=x^{\pi}$$ la f. derivada es $$f^{'}(x)=\pi \, \cdot \, x^{\pi-1}$$

$\square$

Regla de derivación de la función $f(x)=e^x$

Sea la función $f:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ definida de la forma $$f(x)=e^x$$
donde $e$ representa el número trascendente $2,71828 \ldots$, base de los logaritmos neperianos ( o naturales )

Nos proponemos encontrar la regla de derivación de esta función, es decir, la estructura algebraica de la función derivada de la función dada.

De la definición de función derivada, $$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}=\lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta \, x}-e^x}{\Delta\,x}$$
que podemos escribir de la forma$$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}= e^{x} \cdot \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \,x}-1}{\Delta\,x}$$
Es sencillo comprobar - mediante la elaboración de una tabla numérica - que $$\displaystyle \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \, x}-1}{\Delta\,x}=1$$

luego deducimos $$\big(e^x\big)^{'}=e^x$$

$\square$