Classificació de còniques

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$

Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$

En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$

Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$

Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vec{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$

la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$

Figura 1

$\square$

Hipàtia

El director de cinema Alejandro Amenabar va dirigir una pel·lícula ambientada en els temps convulsos que li va tocar viure a la matemàtica, astrònoma, i filosofa neoplatònica Hypatia (Alexandria, en els darrers temps de la famosa biblioteca, segles IV-V d. C.). El paper d'Hypatia el representa l'actriu Rachel Weisz. Després de més mil cinc-cents anys, en un temps - el nostre - on el fanatisme, l'ànsia de poder i les guerres “de religió” dissortadament continuen existint, la pel·lícula és – mal ens pesi – d'una actualitat renovada. Però, sens dubte, és també un homenatge al rigor, a l'ètica, al valor, i a la inquietud matemàtica i científica d'una dona sàvia, honesta, i valenta: Hypatia (Alexandria, ~370-415 d.C.)

En una bon nombre d'escenes apareixen disquisicions sobre el sistema de Ptolomeu (el sistema geocèntric): reflexions sobre els seus avantatges i les seves llacunes, de la qual cosa, per descomptat, se'n tenia consciència, malgrat pesessin més les bondats del model que no pas les seves incoherències de base. El director, els guionistes, i els assessors científics i històrics aconsegueixen també escenificar prou bé el rigor del raonament lògic emprat pels grecs a la llum dels Elements d'Euclides (segle III a. C.) i les reflexions filosòfiques sobre el moviment i les dificultats per superar la trava intel·lectual de la idea de “perfecció” de les formes – atribuïda a la circumferència – que, per als clàssics grecs, havia d'anar forçosament lligada als moviments i formes dels astres. En astronomia, els treballs sobre les trajectòries còniques – les corbes/seccions còniques [d'un con] estudiades ja pels matemàtics grecs que van precedir Hypatia (Apoloni de Perge, , segles III-II a. C.) [i tal com es mostra amb molta elegància en una escena de la pel·lícula] - no estarien a punt de substituir el model geocèntrica de Ptolomeu de manera clara fins a finals del segle XVI gràcies als treballs de l'astrònom Johannes Kepler (1571-1630), ajustant-se – com és ben sabut - molt millor a la realitat i, el que és més importat, fent possible la substitució del model subtil i artificiós de Ptolomeu pel mòdel heliocèntric, ja postulat de forma poc precisa i sense desenvolupar per Aristarc de Samos (segle III a. C.). Cap de les obres d'Hypatia es va salvar, però gràcies als comentaris d'alguns dels seus deixebles (Sinesi de Cirene i Hesiqui d'Alexandria), de les obres dels quals sí que se'n té proves, hom sap que va escriure uns comentaris a les Seccions Còniques d'Apoloni de Perge -sobre la paràbola, l'el·lipse, i la hipèrbola -; va fer també una revisió de les taules astronòmiques de Ptolomeu; una compilació pròpia d'efemèrides astronòmiques; i es va cuidar de l'edició del comentari del seu pare Teó d'Alexandria (matemàtic i astrònom) als Elements d'Euclides; també va escriure obres sobre el que avui entenem per teoria de nombres: un comentari a l'Aritmètica de Diofant d'Alexandria (segle III d.C.); elaborà planisferis i va treballar en el camp de la mecànica i la hidrostàtica.

Llocs geomètrics. Corves còniques.

Ejercicio sobre hipérbolas

Quadrilàters inscrits en una circuferencia. La propietat de Ptolomeu.

La propietat que fa referència a un quadrilàter inscrit en una circumferència (quadrilàter cíclic) coneguda amb el nom de teorema de Ptolomeu1 és un bell resultat de la geometria grega de l'escola d'Alexandria. En aquest escrit faig notar el fet que el teorema de Pitàgores reapareix, a partir del teorema de Ptolomeu 1, com un cas particular del mateix. No és corrent trobar una propietat deguda a Ptolomeu1 ( que fa referència als quadrilàters cíclics ) als moderns llibres de text de Batxillerat. No obstant això, la seva importància a l'hora de resoldre elegantment molts problemes i per demostrar propietats és remarcable; sovint, s'ensenya als alumnes que es preparen per participar a les Olimpíades Matemàtiques i, també, als alumnes de Batxillerat que preparen les Proves Cangur. Per altra banda, és de gran utilitat quan hom fa activitats de camp amb els alumnes: es pot fer sevir en moltes situacions de mesura indirecta. M'ha semblat interessant recordar el seu enunciat en un petit escrit i, sobretot, remarcar el fet que d'aquest teorema se'n desprèn, com a cas particular, el teorema de Pitàgores. Pel que fa a la resolució de problemes, el moment on pot aparèixer és, possiblement, a 1r de Batxillerat, quan es tracta el tema de resolució de triangles generals i, també, en problemes on es fa servir el càlcul amb vectors en el pla. Malgrat tot, personalment opino que també es pot enunciar a l'ESO, formant part de continguts d'ampliació o bé d'activitats de camp; entent-lo com un problema de regle i compàs, tal i com realment és, des de la perspectiva històrica: un elegant teorema de la geometria euclidiana. Euclides (Alexandria, ~ s. III aC) recull moltes proposicions que fan referència a quadrilàters cíclics; vegeu, per exemple la proposició número 22 del llibre III dels Elements. ____________________________________ (1) El teorema porta el nom del matemàtic i astrònom grec Claudi Ptolomeu (circa 85 dC - circa 165 dC), el mateix que, juntament amb d'altres com ara Hiparc de Samos (s. III aC), va contribuir notablement a la millora de la teoria geocèntrica (astronomia) que havia sigut introduïda primer per Eudoxe de Cnidos ( s. IV aC) i després refeta per Aristòtil. Els astronoms (Ptolomeu, Hiparc, ...) de l'escola d'Alexandria van arribar a afinar de tal manera la teoria geocèntrica - introduint les nocions de: òrbita excèntrica, epicicle, i equant - que, tot i la seva complicació, quant a la concordància amb les observacions astronòmiques de l'època així com la capacitat predictiva de la teoria geocèntrica, aquesta superava amb escreix a les primeres teories heliocèntriques; això, sens dubte, va constituir un formidable obstacle i va contribuir a posa tantes trabes a l'heliocentrisme. Tot i que Aristarc de Samos (310 aC - 230 aC) ja havia introduït el model heliocèntric, calgué esperar fins el segle XVI, quan Copèrnic la va millorar suficientment per tal que els astrònoms s'adonéssin de la certesa de la teoria heliocèntrica de Copèrnic. Un dels passos decissius el donà Galileo Galilei, defensor de la teoria de Copèrnic, quan en va donar una prova irrefutable en observar amb el telescopi de la seva invenció els satèl·lits de Jupiter. Ja no hi havia dubte: no era cert que els astres giressin al voltant de la Terra.