De desea construir un depósito esférico cuya capacidad sea de $1000 \pm 40 \, \text{l}$. ....

ENUNCIADO:
De desea construir un depósito esférico cuya capacidad sea de $1000 \pm 40 \, \text{l}$. ¿ Cuál debe ser su radio interior ? Calcúlese también una cota de su error absoluto.

SOLUCIÓN:
Como el volumen es igual a $1000 \pm 40 \, \text{dm}^3$ ( 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico ), y en una esfera se calcula de la forma $V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es $\varepsilon_V=\varepsilon_r+\varepsilon_r+\varepsilon_r \quad \quad (1)$, por ser las operaciones productos de una misma magnitud, $r$, afectada de error: $r^3=r\cdot \cdot \cdot$ ( los demás factores son exactos ). Entonces, de $$1000=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$ despejando $r$, encontramos el valor aproximado del radio ( que será el centro del intervalo de error ) $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 1000}{4 \cdot \pi}} \approx 0,12$$ Por otra parte, de (1), y teniendo en cuenta que $\varepsilon_V=\dfrac{\Delta_V}{V}$, podemos escribir $$\dfrac{40}{1000}=3\,\varepsilon_r$$ luego, despejando la cota de error relativo del radio, obtenemos $$\varepsilon_r = \dfrac{40}{3000} \approx 0,02$$ Y, como $$\varepsilon_r=\dfrac{\Delta_r}{r}$$ obtenemos $$\Delta_r=\varepsilon_r \cdot r \approx 0,2$$ De ahí podemos decir que $r = 6,2 \pm 0,2 \, \text{dm}$ o lo que es lo mismo $r = 62 \pm 2 \, \text{cm}$, es decir, el intervalo de error ( o incertidumbre ) del radio ( expresado en centímetros ) es $I=(62\,,\,64) $
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Un problema de ecología de campo ...

ENUNCIADO:
En un espacio natural se desea estimar el número de individuos $N$ de una cierta especie; para ello, se procede en dos etapas:
1.º) Se realiza la captura de n $n$ individuos ( $ n \le N $); se marcan y se dejan en libertad.
2.º) A continuación, volvemos a realizar otro conjunto de capturas, seleccionando al azar $m$ individuos ($m \le n$), y, contabilizamos cuántos de los mismos están marcados; pongamos que esta vez encontramos $r \le m$ individuos marcados ( individuos que ya habían sido capturados la primera vez).
A partir de todo esto, debemos encontrar una cota superior de $N$.

SOLUCIÓN:
Pensemos en el problema análogo de extraer al azar y sin reemplazamiento $n$ bolas de una urna que contiene $N$ bolas en total, de las cuales $m$ son negras y, por tanto, $N-m$ son blancas, con la consiguiente pregunta: ... al extraer n bolas en esas condiciones, cuál és la probabilidad de que entre ellas haya $r$ bolas negras ?, entendiendo por `bola negra´ un individuo con marca y por `bola blanca´ un individuo sin marca.

Sea la variable aleatoria $X$ que representa el conjunto de valores posibles correspondientes al número de bolas negras ( número de individuos con marca ) contabilizadas entre las $n$ bolas ( número de individuos capturados en la primera fase del proceso ). Así, el valor de $X$ está en el conjunto $\{0,1,2,...,m\}$. El modelo matemático de dicha variable corresponde sin duda a una distribución hipergeométrica. Y la probabilidad pedida es la función de cuantía

$$P\{X=r\}=\dfrac{\binom{m}{r}\, \binom{N-m}{n-r}}{\binom{N}{n}} \quad \quad [1]$$


Dicha probabilidad será mayor cuanto mayor sea el número de bolas de la urna y ello nos sirve para encontrar una cota superior de esta cantidad; en efecto, si $P_{N}\{X=r\} \ge P_{N-1}\{X=i\}$, se deduce, tras unos cuántos pasos de álgebra ( a partir de [1] ) la siguiente desigualdad: $N \le \dfrac{m\cdot n}{r} \quad \quad [2]$

Utilizando la analogía, consideremos, por ejemplo, que el número de individuos capturados en la primera etapa y marcados ( para volver a soltarlos ) es igual $200$ ($n=200$); y, que en el segundo conjunto de capturas, al capturar, por un poner, $50$ individuos ($m=50$), encontramos que $30$ de estos están marcados ($r=30$). Haciendo uso del resultado [2], encontramos una cota superior del número de individuos que constituyen la población:
$N \le 50 \cdot 200/30$, es decir $N \le 333$ individuos
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