ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros no negativos pueden formarse que tengan a lo sumo n cifras ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El conjunto de cifras del alfabeto decimal es \{0,1,2,\ldots,9\} y consta por tanto de 10 cifras. Veamos ahora cuántos números se pueden formar de 1, 2, \ldots hasta de n cifras. Veamos qué sucede a medida que aumentamos el valor de n.
Números de una cifra:
Desde luego, se puede formar 1 número, el 0
Se pueden formar también los 9 números, del 1 al 9
Por tanto podemos formar 1+9=10 números de una cifra.
Números de dos cifras:
Como podemos elegir de 9 maneras la cifra de las decenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener dos cifras ) y de 10 maneras las de las unidades, podemos formar 9\cdot 10 números de dos cifras
Números de tres cifras:
Como podemos elegir de 9 maneras la cifra de las centenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener tres cifras ), de 10 maneras las de las decenas, y de 9 maneras las cifra de las unidades. Así que podemos formar 9\cdot 10 \cdot 10=9\cdot 10^2 números de tres cifras.
...
De ahí es fácil inducir que:
Números de n cifras:
Podemos formar 9\cdot 10^{n-1} números de n cifras.
Por consiguiente, en total, podemos formar 10+9\cdot 10 + 9\cdot 10^2+ \ldots + 9\cdot 10^{n} \quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras} esto es 10+9\cdot 10\cdot (1+10+10^2+\overset{\underbrace{n-1}}{\ldots}+10^{n-1}) \quad \quad (1) Y teniendo en cuenta que la suma del paréntesis corresponde a la de los términos de una progresión geométrica de n-1 términos cuyo primer término es igual a 1 y de razón 10, sabemos ( por la fórmula de la suma ) que ésta es igual a 1\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1} por lo que (1) nos queda
10+9\cdot 10\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1}
=10+\dfrac{9\cdot 10}{9}\cdot (10^{n-1}-1)
=10+10\cdot (10^{n-1}-1)
=10\cdot (1+10^{n-1}-1)
=10\cdot 10^{n-1}
=10^{n}
Procedimiento II. Éste es el procedimiento más directo y más simple.
Consideremos un número de n cifras. La primera ( por la izquierda ) podemos elegirla de 10 maneras distintas, ya que también podemos optar por el '0', habida cuenta que estamos construyendo número de a lo sumo n cifras. La misma consideración podemos hacer para elegir la segunda cifra, luego ésta podremos escogerla también de 10 maneras distintas; y, de igual forma, hasta llegar a la última cifra ( la de las unidades ), que también podremos elegir de 10 maneras distintas. Por consiguiente, y empleando el principio multiplicativo, podemos formar 10\cdot 10 \cdot \overset{\underbrace{n}}{\ldots} \cdot 10 = 10^n\quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras}
\square
