ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros no negativos pueden formarse que tengan a lo sumo $n$ cifras ?
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El conjunto de cifras del alfabeto decimal es $\{0,1,2,\ldots,9\}$ y consta por tanto de $10$ cifras. Veamos ahora cuántos números se pueden formar de $1$, $2$, $\ldots$ hasta de $n$ cifras. Veamos qué sucede a medida que aumentamos el valor de $n$.
Números de una cifra:
Desde luego, se puede formar $1$ número, el $0$
Se pueden formar también los $9$ números, del $1$ al $9$
Por tanto podemos formar $1+9=10$ números de una cifra.
Números de dos cifras:
Como podemos elegir de $9$ maneras la cifra de las decenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener dos cifras ) y de $10$ maneras las de las unidades, podemos formar $9\cdot 10$ números de dos cifras
Números de tres cifras:
Como podemos elegir de $9$ maneras la cifra de las centenas ( pues no podemos elegir el '0' si dichos números han de tener tres cifras ), de $10$ maneras las de las decenas, y de $9$ maneras las cifra de las unidades. Así que podemos formar $9\cdot 10 \cdot 10=9\cdot 10^2$ números de tres cifras.
...
De ahí es fácil inducir que:
Números de $n$ cifras:
Podemos formar $9\cdot 10^{n-1}$ números de $n$ cifras.
Por consiguiente, en total, podemos formar $$10+9\cdot 10 + 9\cdot 10^2+ \ldots + 9\cdot 10^{n} \quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras}$$ esto es $$10+9\cdot 10\cdot (1+10+10^2+\overset{\underbrace{n-1}}{\ldots}+10^{n-1}) \quad \quad (1)$$ Y teniendo en cuenta que la suma del paréntesis corresponde a la de los términos de una progresión geométrica de $n-1$ términos cuyo primer término es igual a $1$ y de razón $10$, sabemos ( por la fórmula de la suma ) que ésta es igual a $1\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1}$ por lo que (1) nos queda
$10+9\cdot 10\cdot \dfrac{10^{n-1}-1}{10-1}$
$=10+\dfrac{9\cdot 10}{9}\cdot (10^{n-1}-1)$
$=10+10\cdot (10^{n-1}-1)$
$=10\cdot (1+10^{n-1}-1)$
$=10\cdot 10^{n-1}$
$=10^{n}$
Procedimiento II. Éste es el procedimiento más directo y más simple.
Consideremos un número de $n$ cifras. La primera ( por la izquierda ) podemos elegirla de $10$ maneras distintas, ya que también podemos optar por el '0', habida cuenta que estamos construyendo número de a lo sumo $n$ cifras. La misma consideración podemos hacer para elegir la segunda cifra, luego ésta podremos escogerla también de $10$ maneras distintas; y, de igual forma, hasta llegar a la última cifra ( la de las unidades ), que también podremos elegir de $10$ maneras distintas. Por consiguiente, y empleando el principio multiplicativo, podemos formar $$10\cdot 10 \cdot \overset{\underbrace{n}}{\ldots} \cdot 10 = 10^n\quad \text{números de a lo sumo}\, n\, \text{cifras}$$
$\square$
