En una ciutat es publiquen tres diaris (A, B, i C). Hem fet un estudi sobre l'ús de la premsa i per això hem escollit un grup de 100 persones. Trobem que 54 llegeixen el diari A; 41, el diari B; 26, el C; 11 llegeixen tan A com B; 9, A i C; 10, B i C; i 6, llegeixen A, B, i C. Es demana:
a) Quantes persones llegeixen almenys un dels tres diaris ? Hi ha algú que no llegeixi cap diari?
b) Quantes persones llegeixen únicament el diari A?
c) Quantes persones llegeixen el diari B o bé el diari C, però no el diari A?
Notació:
El nombre d'elements d'un conjunt $X$ s'anomena cardinal de $X$, i es designa amb la notació $\text{card}(X)$
El complement d'un conjunt X (conjunt d'elements que no pertanyen a X) es representa amb la notació
SOLUCIÓ
a) Pel principi d'inclusió/exclusió:
$\text{card}(A \cup B \cup C)=\text{card}(A)+\text{card}(B)+\text{card}(C)-\text{card}(A \cap B)-\text{card}(A \cap C)-$
$-\text{card}(B \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$
i, d'acord amb la informació donada,
$$\text{card}(A)=54$$
$$\text{card}(B)=41$$
$$\text{card}(C)=26$$
$$\text{card}(A \cap B)=11$$
$$\text{card}(A \cap C)=9$$
$$\text{card}(B \cap C)=10$$
$$\text{card}(A \cap B \cap C)=6$$
trobem que el nombre de persones que llegeixen almenys un diari es igual a
vemos que el número de personas que algún ( al menos un ) diario es
$$\text{card}(A \cup B \cup C)=54+41+26-11-10-9+6=97$$
Per tant, el nombre de persones que no llegeixen cap diari s'obté fent $100 - 97 = 3$
A partir dels nombres cardinals també podríem fer servir un diagrama de Venn per calcular altres nombres cardinals seguint un mètode de comprensió gràfica, tal i com es mostra a la figura; per això, cal començar anotant el nombre cardinal del conjunt intersecció dels tres conjunts, i, de dins a fora, podem anar restant els cardinals de les zones comunes fins arribar a completar tot el diagrama.
b) Tornant a fer ús de la noció d'inclusió-exclusió i, de forma natural, transcrivint al llenguatge de l'àlgebra de conjunts, escriurem el nombre de persones que llegeixen únicament el diari A de la forma $$\text{card}(A \cap \bar{B} \cap \bar{C})=\text{card}(A)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=54-9-11+6$$ $$=40$$
c) Per calcular el nombre de persones que llegeixen els diaris B o bé C, però no el diari A, transcrivint les sumes i les restes al llenguatge de l'àlgebra de conjunts (com hem fet als apartats anteriors), escriurem:
$$\text{card}(B \cap C \cap \bar{A})=\text{card}(B \cap C)-\text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C)+\text{card}(A \cap B \cap C)$$ $$=57-11-9+6$$ $$=43$$
Observació/comentari: Fent ús d'aquests recomptes, i donant un pas més, per aprofitar els resultats que hem trobat, seria ben senzill aplicar el principi de Laplace per calcular la probabilitat que, escollida una persona a l'atzar, aquesta pertanyés a algun dels diversos subconjunts de l'esquema del diagrama de Venn, d'acord amb l'associació abstracta que podem establir entre la noció de conjunt i la de succés d'un espai de probabilitats.
Referències:
- BOADAS, J.; VILLALBÍ, R. Álgebra moderna a través de los problemas. Teide, 1974
- GRIMALDI, R. Matemáticas discreta y combinatoria. Addison-Wesley, 1989
