Un ejemplo de resolución de una ecuación polinómica en el conjunto de los números complejos

En este ejercicio voy a obtener los números reales y complejos que satisfacen la igualdad $x^5+x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^5-x=0$
    $x\,(x^4-1)=0$
      $x\,((x^2)^2-1^2)=0$
        $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0$ , por la identidad $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$
Entonces,
  $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\,1 \\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,i \end{matrix} \right.$ Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1,-i,i\}$

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Ejemplo de un polinomio con raíces complejas

En este ejercicio voy a encontrar las raíces rales y complejas del polinomio $x^3+8$.

Recordemos que, por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado $n$ (n. natural) con coeficientes reales tiene $n$ raíces, las cuales pueden ser reales o bien complejas. Por otra parte, una raíz de un polinomio es todo número que lo anula, luego parto de dicha condición:
  $x^3+8=0$
    $x^3+2^3=0$
      $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0$, por la identidad $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
        Entonces, $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2=0 & \quad (1)\\ x^2-2\,x+4=0 & \quad (2)\end{matrix} \right.$ De $(1)$ se obtiene una primera raíz: $x=-2$, y de $(2)$ se tiene que $x^2-2x+4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}$
  $=\dfrac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}=\dfrac{2 \pm 2\,\sqrt{-3}}{2}=1\pm \sqrt{-3}= 1 \pm \sqrt{3\cdot (-1)}=1 \pm \sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}=1\pm \sqrt{3}\,i$
Así pues, las raíces del polinomio pedido son: $r_1=-2 \in \mathbb{R}$, $r_2=1-\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$ y $r_3=1+\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$

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Una ecuación polinómica de tercer grado. Soluciones reales y complejas

En este ejercicio voy a resolver la ecuación $x^3+x^2+x+1=0$, en el conjunto de los números complejos.

Para ello, opto por factorizar, paso a paso, la expresión del primer miembro, recurriendo simplemente a las propiedades algebraicas elementales:
  $x^3+x^2+x+1=0$
    $x\cdot x^2+x^2+x+1=0$
      $x^2\,(x+1)+x+1=0$
        $x^2\,(x+1)+(x+1)=0$
          $(x+1)\,(x^2+1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt{-1}=\pm\,i\end{matrix}\right.$
Así pues, la solución viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-1,-i,i\}$

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