Resolución de un problema de números enteros que pasa por resolver una ecuación diofántica lineal

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\} $, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)

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Un ejemplo de uso de Python para calcular el factorial de un número (entero no negativo) dado

El siguiente ejemplo de elaboración de programas empleando Python es muy sencillito. Puedes implementarlo en tu ordenador —instalando previamente el intérprete y algún entorno de programación (IDE) de Python—, o, bien, si dispones de de una Raspberry Pi, no te hará falta arreglar nada, pues Python es una pieza esencial en esa máquina, y ya viene preparado todo lo necesario. Por otra parte, te resultará también muy sencillo si utilizas alguna calculadora programable en este lenguaje (por ejemplo la calculadora Numworks); si no la tienes, no te preocupes: no hace falta que la compres, pues puedes utilizar el emulador en línea de la misma, abriendo un navegador de internet y siguiendo este enlace: https://www.numworks.com/simulator/. Te irás acostumbrando poco a poco de servirte de este efectivo recurso (programar): investigar y ayudarte así (escribiendo algoritmos e implementándolos) a resolver problemas de cálculo numérico.

Ejemplo. Cálculo del factorial de $n \in \mathbb{Z}\cup \{0\}$, $n!:=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1$, siendo $0!=1$

def factorial(n):
    resultado = 1
    for i in range(1, n+1):
        resultado *= i
    return resultado

print(factorial(5))  # imprime 120 (5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5)

En esta secuencia de imágenes te muestro los pasos que debes seguir para escribir (editar) el programa y ejecutarlo en el emulador en línea de la calculadora Numworks (lo encontraréis en su página web: https://www.numworks.com/simulator/):

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Ejemplo de resolución de un caso concreto de ecuación diofántica no lineal con dos variables

Se considera la ecuación $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$, donde $x,y$ son números enteros naturales distintos y finitos. Se trata de un tipo particular de ecuación diofántica no lineal. Veamos cómo resolverla.

Voy a suponer, sin pérdida de generalidad, que $x\gt y$ (los resultados serán también válidos si suponemos que $y\gt x$); entonces $\dfrac{1}{x}\lt \dfrac{1}{y} \therefore \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}$; es decir, $\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{2}{y} \Rightarrow y \lt 8$; y, recordando que estamos trantando con números positivos, llegamos a la siguiente acotación para $y$: $$1 \le y \lt 8$$

Voy a examinar ahora qué valores puede tomar la variable $x$ (teniendo en cuenta la acotación de $y$). Voy a despejar $x$ de $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$; para ello, multiplico ambos miembros por $4xy$ y llego a la ecuación equivalente $\dfrac{4xy}{x}+\dfrac{4xy}{y}=\dfrac{4xy}{4}$; simplificando, queda: $4y+4x-xy=0$, luego $x(4-y)+4y=0$, por tanto $$x=\dfrac{4y}{y-4}$$ Procedo a encontrar las parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución. Para ello, voy a calcular el valor de $x$ (si lo hay) para cada uno de los valores posibles de $y: 1,2,3,4,5,6,7$. Entonces,

• Si $y=1$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 1}{1-4}=-\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=2$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 2}{2-4}=-4 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=3$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 3}{3-4}=\dfrac{12}{-1}=-12 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=4$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 4}{4-4}=\dfrac{16}{0}=\infty$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=5$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 5}{5-4}=\dfrac{20}{1}=20 \in \mathbb{N}$, por tanto, $(20,5)$ —; recordemos que al suponer al principio que $x\gt y)$, bien podríamos haber supuesto que $y\gt x$, llegando también a encontrar esta otra solución—; y, permutando los valores de $x$ e $y$ la pareja $(5,20)$ también forma parte de la solución.
• Si $y=6$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 6}{6-4}=\dfrac{24}{2}=12 \in \mathbb{N}$ y por tanto, $(12,6)$ forma parte de la solución (por el mismo argumento del caso anterior), al igual que $(6,12)$.
• Si $y=7$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 7}{7-4}=\dfrac{28}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.

Resumiendo: la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números naturales: $\{(5,20),(20,5);(6,12),(12,6)\}$. $\diamond$

Una ecuación (no algebraica) bien curiosa

Me he encontrado con la siguiente ecuación $x^x=x$, siendo $\mathbb{R} \ni x \neq 0 $. Voy a entretenerme a resolver esta ecuación y, de paso, a apuntar una interesante generalización de la solución de dicha ecuación a otras que tienen la misma forma pero que son un poco más complicadas a la hora de analizarlas.

Mediante un sencillo ensayo de prueba y error, vemos que tanto $1$ como $-1$ satisfacen la igualdad; sin embargo, ¿consta la solución de más valores además de estos dos? Voy a resolver la ecuación, paso a paso, para demostrar que no hay más valores en las solución que éstos. Primero, nos conviene escribir la ecuación de manera equivalente como $x^x-x=0$. Entonces, como $x\neq 0$, sólo caben dos posibilidades, que $x$ sea un número positivo o bien que sea un número negativo:

1. Si $x\gt 0$, al ser $x\neq 0$, únicamente puede anular el primer miembro de la ecuación el segundo factor; entonces $x^x-x=0 \Rightarrow x\,(x^{x-1}-1)=0$, luego $x^{x-1}-1=0$, esto es $x^{x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{x-1}=x^0 \Rightarrow x-1=0$, con lo cual encontramos un primer valor para la solución $x_1=1$, que podemos comprobar sustituyendo en la ecuación, para ver que se cumple la igualda numérica: $1^{1}=1$, que es igual al valor del segundo miembro.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0 \therefore -x^{-x}-(-x)=0$, ecuación que podemos estudiar de la misma manera que en el caso anterior, es decir, $-x^{-x}+x=0$ luego $x\,(-x^{-x-1}+1)=0 \Rightarrow -x^{-x-1}+1)=0$, habida cuenta de que el primer factor, $-x$, no es nulo, luego $-x^{-x-1}=-1$, y por tanto $x^{-x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{-x-1}=x^0 \Rightarrow -x-1=0$, entonces la solución consta de un segundo valor: $x_2=-1$. En efecto, si substituimos en la ecuación se cumple la igualda numérica: $-1^{-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

-oOo- Observación (generalización): En general, y siempre que $x\neq 0$, puede comprobarse que para cualquier ecuación de la forma $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$, los únicos valores que forman la solución en $\mathbb{R}$ son los números enteros $-1$ y $1$. Ésto se puede hacer, por ejemplo, realizando la gráfica de la función $\displaystyle f(x)=x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}-x$ a partir de la elaboración de una tabla de valores —os sugiero que utilicéis una hoja de cálculo— para observar que, al visualizar la gráfica, los (únicos) dos puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas son los que tienen esos valores por abscisas. Y, desde luego, si substituimos uno y otro valor en la ecuación, es muy fácil comprobar que se cumple la igualdad numérica que corresponde a la igualdad algebraica $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$. Tambíen, os recomiendo —como curiosidad— que utilicéis alguna herramienta de cálculo simbólico (CAS) como por ejemplo WolframAlpha (el enlace dirige a la petición de resolución automática de una ecuación de este tipo) y, así, contrastar de una manera alternativa lo que se acaba de concluir. $\diamond$