Cómo demostrar algo por el método de contradicción

Una proposición A implica otra proposición B si y sólo si no B implica no A. En esta propiedad se basa el método de demostración por contradicción.

Igualdad de dos conjuntos

Para demostrar que dos conjuntos A y B son iguales, debe probarse que A está incluido en B ( todo elemento de A debe ser también un elemento de B ) y que B está incluido en A ( todo elemento de B debe ser también un elemento de A ).

Conjuntos, proposiciones y lenguaje matemático

ENUNCIADO. Exprésese en el lenguaje natural la siguiente proposición $$(\dot{2}) \cap (\dot{3}) = (\dot{6})$$

Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.

SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$

En el lenguaje natural, tal como se pide, ésto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
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En fila india

ENUNCIADO. Diez personas quieren colocarse en fila india, de manera que la más baja y la más alta no estén juntas en ningún caso. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

SOLUCIÓN. Si no impusiéramos la resctricción tendríamos $\text{P}_{10} = 10! = 3\,628\,800$ posibilidades; y, si hacemos el recuento de los casos en que la persona más baja y la más alta están juntas vemos que, como hay $\text{P}_{2}$ maneras de colocar a la pareja formada por la persona más baja y la persona más alta juntas en algún lugar de la fila y $\text{P}_{10-2}$ de colocar al resto de personas, aplicando el principio de independencia encontramos $\text{P}_{2} \cdot \text{P}_{10-2}= 2 \cdot 8! = 80\,640$ maneras de formar una fila india en la que la persona más baja y la más alta estén juntas, luego restando dichas cantidades obtenemos: $\text{P}_{10}-\text{P}_{2}\cdot \text{P}_{10-2}=3\,628\,800-80\,640=3\,548\,160$ maneras de colocarse en fila india a las diez personas, evitando que la persona más baja y la más alta estén juntas.
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Ordenando dígitos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos números enteros positivos de 5 cifras podemos formar, sin repetir ninguna, de tal modo que las tres primeras sean impares y las dos últimas pares ?

SOLUCIÓN. Dado que el conjunto de cifras pares es $\{0,2,4,6,8\}$, hay $\text{V}_{5,2}=5\cdot 4=20$ maneras de elegir la pareja de cifras correspondiente a las unidades y a las decenas ( que han de ser pares ); y, como disponemos de $5$ cifras impares, $\{1,3,5,7,9\}$, tenemos $\text{V}_{5,3}=5\cdot 4 \cdot 3=60$ maneras de elegir la terna de cifras impares que encabeza el número. Luego, por el principio de independencia, habrá $20\cdot 60=1\,200$ números posibles que cumplan las condiciones del enunciado.
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Ordenando libros en un estante

ENUNCIADO. Tenemos 7 libros de matemáticas y 3 de física. ¿De cuántas maneras podemos colocar cuatro de esos libros de matemáticas y uno de física en un estante, de manera que el libro de física ocupe siempre la posición central?

SOLUCIÓN. Hay $3$ posibilidades de elegir el libro de física que queremos colocar y $\text{V}_{7,4}$ maneras de elegir los libros de matemáticas -- se trata aquí de variaciones ordinarias, pues importa el orden de colocación y no podemos repetir un mismo libro --, luego, por el principio de independencia, podemos ordenarlos de $3\cdot \text{V}_{7,4} = 3 \cdot ( 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 ) = 3 \cdot 840 = 2\,520$ maneras distintas.
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