Consideremos el cuerpo de los números complejos $(\mathbb{C},+,.)$. Vamos a demostrar que el elemento neutro del mismo con respecto de la operación producto de números complejos es $(1,0)$
Recordemos que todo número complejo $z$ viene dado por un par ordenado de números reales $(a,b)$, y que se define el producto de dos números complejos de la forma $z_1=:(a_1,b_1)$ y $z_2=:(a_2,b_2)$ de la forma $z_1\cdot z_2:=(a_1\,a_2-b_1\,b_2,a_1\,b_2+a_2\,b_1)$.
Entonces, el elemento neutro con respecto de la multiplicación de números enteros, $n=:(n_1,n_2)$, ha de ser único y tal que para todo $\mathbb{C} \ni z=:(a,b)$, donde $a,b \in \mathbb{R}$, se cumpla que $z\,n\overset{\text{conmutatividad de}\,\cdot}{=}n\,z=z$. Por tanto, $n \cdot z=(n_1,n_2)\cdot (a,b):=(n_1\,a-n_2\,b,n_1\,b+n_2\,a)=(a,b) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ n_1\,b&+& n_2\,a&=&b\end{matrix}\right.$
$\overset{-(b/a)\,f_1+f_2 \rightarrow f_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ &&\dfrac{a^2+b^2}{a}\,n_2&=&0& \Rightarrow n_2=0\end{matrix}\right.$ y, por tanto, sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene $n_1=1$, con lo cual $n=(1,0)$.
Demostremos ahora la unicidad de dicho elemento neutro. Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que no lo es, esto es, que al menos existe un $n'=:(n'_1\,n'_2) \neq n=:(n_1,n_2)$. Entonces, $z=z\,n=z\,n'$, con lo cual $\left\{\begin{matrix} a\,n_1-b\,n_2 = a\,n'_1-b\,n'_2 \\ b\,n_1+a\,n_2 = b\,n'_1+a'\,n_2 \end{matrix}\right.$, es decir $\left\{\begin{matrix} a\,(n_1-n'_1) = b\,(n_2-n'_2) \\ b\,(n_1-n'_1) = a\,(n_2-n'_2) \end{matrix}\right. \Rightarrow n_1=n'_1 \quad \text{y} \quad n_2=n'_2$, en contradicción con la hipótesis de partida. $\diamond$
