Una justificación de que sin(x) y x son infinitésimos equivalentes

Problemas de máximos y mínimos. Aplicaciones de la derivada

ENUNCIADO. Hállese la relación entre la altura y el radio de un depósito cilíndrico de volumen dado, $k$, para que el área total del desarrollo plano de dicho cuerpo sea mínima.

SOLUCIÓN. El área total del desarrollo plano de un cilindro de radio $r$ y altura $h$ es $$2\,\pi\,r\,h+2\,(\pi\,r^2)$$ Teniendo en cuenta que el volumen está fijado, y su valor es $k$, podemos escribir $$k=\pi\,h\,r^2 \quad \quad (1)$$ por lo que la función de $r$ que proporciona el área total es $$f(r)=2\,\pi\,\left(r^2+\dfrac{k}{\pi}\,r\right)$$ Procedemos ahora a determinar los extremos relativos de dicha función, imponiendo (condición necesaria) $$f'(r)=0$$ esto es $$2\,\pi\,\left( 2r- \dfrac{k}{\pi}\cdot \dfrac{1}{r^2}\right)=0 \Leftrightarrow -k+2\,\pi\,r^3=0$$ de donde en consecuencia encontramos un solo extremo relativo $$r_{*}=\sqrt[3]{\dfrac{k}{2\,\pi}} \quad \quad$$ Sustituyendo en (1) encontramos $$h_{*}=\sqrt[3]{\dfrac{4}{k\,\pi}}$$
Comprobamos que la abscisa encontrada en (2) corresponde a un mínimo relativo, pues $$f''(r_{*})=2\,\pi \, \left( \dfrac{2\,k}{\pi} \cdot \dfrac{1}{r_{*}^3}+2 \right) \succ 0$$
Además, dicho mínimo relativo es, también, el mínimo absoluto de la función.

Calculando la razón de $h_{*}$ y $r_{*}$ con los valores encontrados vemos que $$\dfrac{h_{*}}{r_{*}}=2$$ De donde, a modo de conclusión, podemos afirmar que el diámetro de la base de dicho cilindro ha de ser igual a la altura del mismo, para que, fijado el valor del volumen del cilindro, el área total del desarrollo plano del mismo sea mínima.
$\square$